Trong không gian Oxyz, chứng minh hai đường thẳng sau đây vuông góc nhau:

\(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 5 - t}\\{y =  - 3 + 2t}\\{z = 4t}\end{array}\quad (t \in \mathbb{R})} \right.\) và \({d^\prime }:\frac{{x - 9}}{2} = \frac{{y - 13}}{3} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}\).

a) Đường thẳng \({\Delta _1}\) đi qua \({\rm{A}}(1;3;2)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}}  = (3;1;2)\)

Đường thẳng \({\Delta _2}\) đi qua \({\rm{B}}(1; - 1;0)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}}  = (3;1;2)\)

vi \(\overrightarrow {{u_1}}  = \overrightarrow {{u_2}}  = (3;1;2)\) và \({\rm{A}} \notin {\Delta _2}\) do đó \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) song song với nhau.

b) Có \(\overrightarrow {AB}  = (0; - 4; - 2)\)

Mặt phắng (P) chứa \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) có một vectơ pháp tuyến là \(\vec n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{u_1}} } \right] = ( - 6; - 6;12)\)

Mặt phắng \(({\rm{P}})\) đi qua \({\rm{A}}(1;3;2)\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n = ( - 6; - 6;12)\) có phương trình là: \( - 6({\rm{X}} - \) 1) \( - 6(y - 3) + 12(z - 2) = 0 \Leftrightarrow 6x + 6y - 12z = 0\) hay \(x + y - 2z = 0\).

a) Đường thẳng \({\Delta _1}\) đi qua điểm \({M_1}( - 7;1; - 2)\) và có \({\vec u_1} = (5; - 7; - 2)\) là vectơ chỉ phương.

Đường thẳng \({\Delta _2}\) đi qua điểm \({M_2}( - 5; - 10;3)\) và có \({\vec u_2} = ( - 3; - 4;7)\) là vectơ chi phương.

Ta có: \(\frac{5}{{ - 3}} \ne \frac{{ - 7}}{{ - 4}}\), suy ra \({\vec u_1},{\vec u_2}\) không cùng phương;

\(\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = (2; - 11;5),{\rm{ }}\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 7}&{ - 2}\\{ - 4}&7\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&5\\7&{ - 3}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}5&{ - 7}\\{ - 3}&{ - 4}\end{array}} \right|} \right) = ( - 57; - 29; - 41).\)

Do \(\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right] \cdot \overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = ( - 57) \cdot 2 + ( - 29) \cdot ( - 11) + ( - 41) \cdot 5 = 0\) nên \({\vec u_1}\), \({\vec u_2}\), \(\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \) đồng phẳng.

Vậy \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) cắt nhau.

b) Đường thẳng \({\Delta _1}\) đi qua điểm \({M_1}( - 2;1;0)\) và có \({\vec u_1} = (5; - 1;3)\) là vectơ chỉ phương.

Đường thẳng \({\Delta _2}\) đi qua điểm \({M_2}( - 2;1;1)\) và có \({\vec u_2} = (4;5; - 6)\) là vectơ chỉ phương.

Ta có: \(\frac{5}{4} \ne \frac{{ - 1}}{5}\), suy ra \({\vec u_1},{\vec u_2}\) không cùng phương;

\(\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = (0;0;1),{\rm{ }}\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&3\\5&{ - 6}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&5\\{ - 6}&4\end{array}} \right|;{\rm{ }}\left| {{\mkern 1mu} \begin{array}{*{20}{c}}5&{ - 1}\\4&5\end{array}} \right|} \right) = ( - 9;42;29).\)

Do \(\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right] \cdot \overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = ( - 9) \cdot 0 + 42 \cdot 0 + 29 \cdot 1 = 29 \ne 0\) nên \({\vec u_1},{\vec u_2},\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \) không đồng phẳng.

Vậy \({\Delta _1},{\Delta _2}\) chéo nhau.

c) Đường thẳng \({\Delta _1}\) đi qua điểm \({M_1}(0; - 5;1)\) và có \({\vec u_1} = (3;2; - 3)\) là vectơ chỉ phương.

Đường thẳng \({\Delta _2}\) đi qua điểm \({M_2}(1;3;1)\) và có \({\vec u_2} = ( - 6; - 4;6)\) là vectơ chỉ phương.

Ta có: \( - 2{\vec u_1} = {\vec u_2}\), suy ra \({\vec u_1},{\vec u_2}\) cùng phương;

\(\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = (1;8;0){\rm{ và  }}\frac{3}{1} \ne \frac{2}{8}{\rm{ nên }}{\vec u_1},\overrightarrow {{M_1}{M_2}} {\rm{ không cùng phương }}{\rm{. }}\)

Vậy \({\Delta _1}//{\Delta _2}\).