Kiểm tra tính song song hoặc trùng nhau của các cặp đường thẳng sau:

a) $d:\left\{ {\begin{array}{{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = 2 + t}\\{z = 1 + 2t}\end{array}} \right.$ và ${d^\prime }:\left\{ {\begin{array}{{20}{l}}{x = 2 + 2{t^\prime }}\\{y = 5 + 2{t^\prime }}\\{z = 1 + 4{t^\prime }}\end{array}} \right.$

b) $d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z - 1}}{2}$ và ${d^\prime }:\frac{{x - 2}}{3} = \frac{{y - 3}}{3} = \frac{{z - 3}}{6}$.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 25 bài tập Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng (có lời giải) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M(1;2;1)$ và có vectơ chỉ phương $\vec a = (1;1;2)$.

Đường thẳng ${d^\prime }$ có vectơ chỉ phương ${\vec a^\prime } = (2;2;4) = 2\vec a$.

Thay toạ độ điểm $M$ vào phương trình của ${d^\prime }$, ta được:

$\{\begin{array}{l} 1 = 2 + 2 t^{'} \\ 2 = 5 + 2 t^{'} \\ 1 = 1 + 4 t^{'} \end{array} \Leftrightarrow \{\begin{cases} t^{'} = - \frac{1}{2} \\ t^{'} = - \frac{3}{2} \\ t^{'} = 0 \end{cases} (vô nghiệm).$

Suy ra $M$ không thuộc ${d^\prime }$. Vậy $d//{d^\prime }$.

b ) Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M(1;2;1)$ và có vectơ chỉ phương $\vec a = (1;1;2)$.

Đường thẳng ${d^\prime }$ có vectơ chỉ phương ${\vec a^\prime } = (3;3;6) = 3\vec a$.

Thay toạ độ điểm $M$ vào phương trình của ${d^\prime }$, ta được: $\frac{{1 - 2}}{3} = \frac{{2 - 3}}{3} = \frac{{1 - 3}}{6}{\rm{. }}$

Phương trình nghiệm đúng, suy ra $M$ thuộc ${d^\prime }$. Vậy $d \equiv {d^\prime }$.

Hot: Danh sách các trường đã công bố điểm chuẩn Đại học 2025 (mới nhất) (2025). Xem ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Trong không gian Oxyz, xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:

a) $d:\left\{ {\begin{array}{{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = 2t}\\{z = 3 - t}\end{array}\quad (t \in \mathbb{R})} \right.$ và ${d^\prime }:\left\{ {\begin{array}{{20}{l}}{x = 2 + 2{t^\prime }}\\{y = 3 + 4{t^\prime }\left( {{t^\prime } \in \mathbb{R}} \right);}\\{z = 5 - 2{t^\prime }}\end{array}} \right.$

b) $d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y = - 1 + 3t(t \in \mathbb{R}){\rm{ và }}{d^\prime }:\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z + 1}}{2}}\\{z = 5 + t}\end{array}} \right.$

c) $d:\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{z}{2}$ và ${d^\prime }:\frac{{x - 1}}{5} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 2}}{{ - 2}}$.

Xem đáp án

Lời giải

a) Ta có các vectơ chỉ phương của $d$ và ${d^\prime }$ lân lượt là $\vec a = (1;2; - 1)$ và $\overrightarrow {{a^\prime }} = (2;4; - 2)$. ${\rm{Vi}}\overrightarrow {{a^\prime }} = 2\vec a$ nên $\vec a$ và $\overrightarrow {{a^\prime }} $ cùng phương. Từ đó suy ra $d$ và ${d^\prime }$ song song với nhau hoặc trùng nhau.

Xét điểm $M(1;0;3) \in d$, ta có $M \notin {d^\prime }$ nên $d//{d^\prime }$.

b) Ta có $d$ và ${d^\prime }$ lản lượt nhận $\vec a = (2;3;1)$ và $\overrightarrow {{a^\prime }} = (3;2;2)$ là các vectơ chỉ phương. Vi $\vec a$ và $\overrightarrow {{a^\prime }} $ không cùng phương nên $d$ và ${d^\prime }$ cắt nhau hoặc chéo nhau. ${d^\prime }$ đi qua $M(1; - 2; - 1)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{a^\prime }} = (3;2;2)$ nên có phương trình tham số là:

${d^\prime }:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 3{t^\prime }}\\{y = - 2 + 2{t^\prime }\left( {{t^\prime } \in \mathbb{R}} \right).}\\{z = - 1 + 2{t^\prime }}\end{array}} \right.$${t^\prime } = - \frac{2}{5}$, thay vào (3), ta thấy $t$ và ${t^\prime }$ không thoả mãn (3).

Ta suy ra hệ phương trình trên vô nghiệm. Vậy hai đường thẳng $d$ và ${d^\prime }$ chéo nhau.

c) Ta có: $d$ đi qua $M(0;1;0)$ và có vectơ chỉ phương $\vec a = (1; - 1;2)$; ${d^\prime }$ đi qua ${M^\prime }(1;2; - 2)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{a^\prime }} = (5;1; - 2)$.

Nên phương trình tham số của $d$ và ${d^\prime }$ lẩn lượt là:

Xét hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 1 + 5{t^\prime }}\\{1 - t = 2 + {t^\prime }}\\{2t = - 2 - 2{t^\prime }}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t - 5{t^\prime } = 1}\\{ - t - {t^\prime } = 1}\\{2t + 2{t^\prime } = - 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = - \frac{2}{3}}\\{{t^\prime } = - \frac{1}{3}}\end{array}} \right.} \right.} \right.$

Hệ phương trình trên có đúng một nghiệm, nên $d$ và ${d^\prime }$ cắt nhau.

Câu 2

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng ${\Delta _1}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 3}}{4}$ và ${\Delta _2}:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{4}$. Chứng minh rằng:

a) Hai đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ song song với nhau;

b) Đường thẳng ${\Delta _1}$ và trục Ox chéo nhau;

c) Ðường thẳng ${\Delta _2}$ trùng với đường thẳng ${\Delta _3}:\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z + 4}}{4}$;

d) Đường thẳng ${\Delta _2}$ cắt trục Oz .

Xem đáp án

Lời giải

Đường thả̉ng ${\Delta _1}$ đi qua điếm ${\rm{A}}(1; - 2;3)$ và có vectơ chí phương $\overrightarrow {{u_{{\Delta _1}}}} = (1;1;4)$ Đường thắng ${\Delta _2}$ đi qua điếm ${\rm{B}}( - 1; - 1;0)$ và có vectơ chí phương $\overrightarrow {{u_{{\Delta _2}}}} = (1;1;4)$

a) vi $\overrightarrow {{u_{{\Delta _1}}}} = \overrightarrow {{u_{{\Delta _2}}}} = (1;1;4)$ và $A \notin {\Delta _2}$ nên hai đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ song song với nhau.

b) Trục OX đi qua điếm ${\rm{O}}(0;0;0)$ và có vectơ chỉ phương là $\vec i = (1;0;0)$

Có $\overrightarrow {OA} = (1; - 2;3)$ và $\left[ {\vec i,\overrightarrow {{u_{{\Delta _1}}}} } \right] = (0; - 4;1)$.

Có $\overrightarrow {OA} \cdot \left[ {\vec i,\overrightarrow {{u_{{\Delta _1}}}} } \right] = 8 + 3 = 11 \ne 0$. Do đó đường thẳng ${\Delta _1}$ và trục Ox chéo nhau.

c) Đường thắng ${\Delta _3}$ đi qua điểm ${\rm{C}}( - 2; - 2; - 4)$ và có vectơ chỉ phương .

vi $\overrightarrow {{u_{{\Delta _2}}}} = \overrightarrow {{u_{{\Delta _3}}}} = (1;1;4)$ và ${\rm{B}} \in {\Delta _3}$ nên đường thắng ${\Delta _2}$ trùng với đường thắng ${\Delta _3}$.

d) Trục Oz đi qua điếm ${\rm{O}}(0;0;0)$ và có vectơ chỉ phương là $\vec k = (0;0;1)$.

Có $\overrightarrow {OB} = ( - 1; - 1;0),\left[ {\vec k,\overrightarrow {{u_{{\Delta _2}}}} } \right] = ( - 1;1;0) \ne \vec 0$

Có $\overrightarrow {OB} \cdot \left[ {\vec k,\overrightarrow {{u_{{\Delta _2}}}} } \right] = 1 - 1 = 0$. Do đó đường thắng ${\Delta _2}$ cắt trục Oz .

Câu 3