Kiểm tra tính song song hoặc trùng nhau của các cặp đường thẳng sau:

a) $d:\left\{ {\begin{array}{{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = 2 + t}\\{z = 1 + 2t}\end{array}} \right.$ và ${d^\prime }:\left\{ {\begin{array}{{20}{l}}{x = 2 + 2{t^\prime }}\\{y = 5 + 2{t^\prime }}\\{z = 1 + 4{t^\prime }}\end{array}} \right.$

b) $d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z - 1}}{2}$ và ${d^\prime }:\frac{{x - 2}}{3} = \frac{{y - 3}}{3} = \frac{{z - 3}}{6}$.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 25 bài tập Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng (có lời giải) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M(1;2;1)$ và có vectơ chỉ phương $\vec a = (1;1;2)$.

Đường thẳng ${d^\prime }$ có vectơ chỉ phương ${\vec a^\prime } = (2;2;4) = 2\vec a$.

Thay toạ độ điểm $M$ vào phương trình của ${d^\prime }$, ta được:

$\{\begin{array}{l} 1 = 2 + 2 t^{'} \\ 2 = 5 + 2 t^{'} \\ 1 = 1 + 4 t^{'} \end{array} \Leftrightarrow \{\begin{cases} t^{'} = - \frac{1}{2} \\ t^{'} = - \frac{3}{2} \\ t^{'} = 0 \end{cases} (vô nghiệm).$

Suy ra $M$ không thuộc ${d^\prime }$. Vậy $d//{d^\prime }$.

b ) Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M(1;2;1)$ và có vectơ chỉ phương $\vec a = (1;1;2)$.

Đường thẳng ${d^\prime }$ có vectơ chỉ phương ${\vec a^\prime } = (3;3;6) = 3\vec a$.

Thay toạ độ điểm $M$ vào phương trình của ${d^\prime }$, ta được: $\frac{{1 - 2}}{3} = \frac{{2 - 3}}{3} = \frac{{1 - 3}}{6}{\rm{. }}$

Phương trình nghiệm đúng, suy ra $M$ thuộc ${d^\prime }$. Vậy $d \equiv {d^\prime }$.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng ${\Delta _1},{\Delta _2}$ trong mỗi trường hợp sau:

a) ${\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{{20}{l}}{x = 1 + 5{t_1}}\\{y = 2 - {t_1}}\\{z = 3 + 2{t_1}}\end{array},{\Delta _2}:\left\{ {\begin{array}{{20}{l}}{x = 2 + 10{t_2}}\\{y = 4 - 2{t_2}}\\{z = 1 + 4{t_2}}\end{array}} \right.} \right.$;

b) ${\Delta _1}:\frac{{x - 2}}{3} = \frac{{y - 3}}{2} = \frac{{z + 4}}{1},{\Delta _2}:\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{{ - 3}}$;

c) ${\Delta _1}:\frac{{x + 3}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 2}}{2},{\Delta _2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 6 + 3t}\\{y = 8 + 2t}\\{z = - 1 - t}\end{array}} \right.$

Xem đáp án

Lời giải

a) Đường thẳng ${\Delta _1}$ đi qua điểm ${M_1}(1;2;3)$ và có ${\vec u_1} = (5; - 1;2)$ là vectơ chỉ phương. Đường thẳng ${\Delta _2}$ đi qua điểm ${M_2}(2;4;1)$ và có ${\vec u_2} = (10; - 2;4)$ là vectơ chỉ phương. Ta có: $2{\vec u_1} = (10; - 2;4) = {\vec u_2}$, suy ra ${\vec u_1},{\vec u_2}$ cùng phương;

$\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = (1;2; - 2)$ và $\frac{1}{5} \ne \frac{2}{{ - 1}}$ nên ${\vec u_1},\overrightarrow {{M_1}{M_2}} $ không cùng phương. Vậy ${\Delta _1}//{\Delta _2}$.

b) Đường thẳng ${\Delta _1}$ đi qua điểm ${M_1}(2;3; - 4)$ và có ${\vec u_1} = (3;2;1)$ là vectơ chỉ phương. Đường thẳng ${\Delta _2}$ đi qua điểm ${M_2}( - 2;1;2)$ và có ${\vec u_2} = (2;1; - 3)$ là vectơ chỉ phương. Ta có: $\frac{2}{3} \ne \frac{1}{2}$, suy ra ${\vec u_1},{\vec u_2}$ không cùng phương; $\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = ( - 4; - 2;6),\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&1\\1&{ - 3}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&3\\{ - 3}&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{l}}3&2\\2&1\end{array}} \right|} \right) = ( - 7;11; - 1){\rm{. }}$

Do $\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right] \cdot \overrightarrow {{M_1}{M_2}} = ( - 7) \cdot ( - 4) + 11 \cdot ( - 2) + ( - 1) \cdot 6 = 0$ nên ${\vec u_1},{\vec u_2},\overrightarrow {{M_1}{M_2}} $ đồng phẳng.

Vậy ${\Delta _1}$ cắt ${\Delta _2}$.

c) Đường thẳng ${\Delta _1}$ đi qua điểm ${M_1}( - 3;1;2)$ và có ${\vec u_1} = (1; - 1;2)$ là vectơ chỉ phương. Đường thẳng ${\Delta _2}$ đi qua điểm ${M_2}(6;8; - 1)$ và có ${\vec u_2} = (3;2; - 1)$ là vectơ chi phương. Ta có:

$\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = (9;7; - 3),\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&2\\2&{ - 1}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&1\\{ - 1}&3\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 1}\\3&2\end{array}} \right|} \right) = ( - 3;7;5).$

Do $\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right] \cdot \overrightarrow {{M_1}{M_2}} = ( - 3) \cdot 9 + 7 \cdot 7 + 5 \cdot ( - 3) = 7 \ne 0$ nên ${\vec u_1},{\vec u_2},\overrightarrow {{M_1}{M_2}} $ không đồng phẳng.

Vậy ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ chéo nhau.

Câu 2

Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng:

${\Delta _1}:\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y - 3}}{1} = \frac{{z - 2}}{2}{\rm{ và }}{\Delta _2}:\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{x + 1}}{1} = \frac{z}{2}{\rm{. }}$

a) Chứng minh rằng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ song song với nhau.

b) Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ chứa ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$.

Xem đáp án

Lời giải

a) Đường thẳng ${\Delta _1}$ đi qua ${\rm{A}}(1;3;2)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_1}} = (3;1;2)$

Đường thẳng ${\Delta _2}$ đi qua ${\rm{B}}(1; - 1;0)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_2}} = (3;1;2)$

vi $\overrightarrow {{u_1}} = \overrightarrow {{u_2}} = (3;1;2)$ và ${\rm{A}} \notin {\Delta _2}$ do đó ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ song song với nhau.

b) Có $\overrightarrow {AB} = (0; - 4; - 2)$

Mặt phắng (P) chứa ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{u_1}} } \right] = ( - 6; - 6;12)$

Mặt phắng $({\rm{P}})$ đi qua ${\rm{A}}(1;3;2)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec n = ( - 6; - 6;12)$ có phương trình là: $ - 6({\rm{X}} - $ 1) $ - 6(y - 3) + 12(z - 2) = 0 \Leftrightarrow 6x + 6y - 12z = 0$ hay $x + y - 2z = 0$.

Câu 3