Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC, BC. Trên đoạn BD lấy điểm P sao cho BP = 2PD. Khi đó:

a) MN // (ABD).

b) MP // CD.

c) Gọi I = CD (MNP), ba điểm I, N, P thẳng hàng.

d) Giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (ABD) là đường thẳng qua điểm P và song song với AB.

Ta có 3 cạnh của hình chóp là AB, CD, SA đều có điểm chung với mặt phẳng (MNQ) nên không thể song song với mặt phẳng này.

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD, P là trung điểm của SD.

Ta có BC // MN // AD nên BC và AD đều song song với mặt phẳng (MNQ).

Ta lại có SB // MQ Þ SB // (MNQ) và SC // OQ Þ SC // (MNQ).

Vì SD cắt mặt phẳng (MNQ) tại trung điểm P của SD.

Vậy có tất cả 4 cạnh của hình chóp song song với mặt phẳng (MNQ).

Trả lời: 4.

a) Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AB \subset \left( {SAB} \right)}\\{OI//AB}\end{array} \Rightarrow OI//\left( {SAB} \right)} \right.\)

b) Tương tự, \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{CD \subset \left( {SCD} \right)}\\{OI//CD}\end{array} \Rightarrow OI//\left( {SCD} \right)} \right.\).

c) Vì \(\frac{{DI}}{{DA}} = \frac{1}{2} \ne \frac{1}{3} = \frac{{DE}}{{DC}}\) nên \(IE\) không song song với \(AC\).

d) Gọi \(K\) là trung điểm của \(BC,G'\) là trọng tâm tam giác \(SBC\).

Khi đó \(\frac{{SG'}}{{SK}} = \frac{{SG}}{{SI}} = \frac{{G'G}}{{KI}} = \frac{2}{3}\), suy ra \(G'G//IK//CE\) và \(G'G = \frac{2}{3}KI = \frac{2}{3}CD = CE\).

Do đó tứ giác \(G'GEC\) là hình bình hành, suy ra \[CG'//GE \Rightarrow GE//(SBC)\].

Đáp án: a) Đúng;   b) Đúng;    c) Sai;    d) Đúng.