Cho hai đa thức \(A = 2x{y^2} + x + y + 1\) và \(B = {x^2} + 2{y^2} + xy\). Hỏi có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( {x;y} \right)\)thỏa mãn \(A = B.\)

Đáp án: \(2\)

Để \(A = B\) thì \(2x{y^2} + x + y + 1 = {x^2} + 2{y^2} + xy\)

Do đó, \(2x{y^2} + x + y + 1 - {x^2} - 2{y^2} - xy = 0\)

\(2x{y^2} - 2{y^2} + x - {x^2} + y - xy = - 1\)

\(\left( {x - 1} \right).2{y^2} + x\left( {1 - x} \right) + y\left( {1 - x} \right) = - 1\)

\(\left( {1 - x} \right).\left( { - 2{y^2} + x + y} \right) = - 1\)

\(\left( {x - 1} \right).\left( {2{y^2} - x - y} \right) = - 1\)

Do \(x;y\) nguyên nên \(\left( {x - 1} \right);\left( {2{y^2} - x - y} \right)\) là các số nguyên và là ước của 1 nên ta có các trường hợp sau:

TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 = - 1\\2{y^2} - x - y = 1\end{array} \right.\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\2{y^2} - y = 1\end{array} \right.\) do đó \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y\left( {2y - 1} \right) = 1\end{array} \right.\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 1\end{array} \right.\).

TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 1\\2{y^2} - x - y = - 1\end{array} \right.\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\2{y^2} - y = 1\end{array} \right.\) do đó \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y\left( {2y - 1} \right) = 1\end{array} \right.\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right.\).

Vậy các cặp số \(\left( {x\,;\,\,y} \right)\) thỏa mãn là \[\left( {2\,;\,\,1} \right);\left( {0\,;\,\,1} \right)\].