Cho hình thang cân \(ABCD{\rm{ }}\left( {AB\parallel CD} \right)\), kẻ đường cao \(AH,BK\) của hình thang, biết \(AB = 2{\rm{ cm; }}AH = 4{\rm{ cm; }}\widehat D = 45^\circ \).

Tính diện tích của hình thang cân \(ABCD\). (Đơn vị: \({\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\)).

Đáp án: 24

Vì tam giác vuông \(AHD\) có \(\widehat {ADH} = 45^\circ \) nên \(\Delta AHD\) là tam giác vuông cân.

Do đó, \(HD = HA = 4{\rm{ cm}}\).

Ta có \(ABHK\) là hình bình hành \(\left( {AB\parallel HK} \right)\) có \(\widehat {AHK} = \widehat {HKB} = 90^\circ \), do đó \(ABHK\) là hình chữ nhật.

Suy ra \(AH = BK = 4{\rm{ cm,}}\) \(AB = HK = 2{\rm{ cm}}{\rm{.}}\)

Vì \(ABCD{\rm{ }}\left( {AB\parallel CD} \right)\) là hình thang cân nên \(\widehat {ADH} = \widehat {BCK} = 45^\circ \).

Do đó, \(\Delta BKC\) cũng là tam giác vuông cân nên \(KB = KC = 4{\rm{ cm}}\).

Ta có: \(DC = DH + HK + KC = 4 + 2 + 4 = 10{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

Vậy diện tích hình thang cân \(ABCD\) là: \(\frac{{\left( {AB + DC} \right) \cdot AH}}{2} = \frac{{\left( {2 + 10} \right) \cdot 4}}{2} = 24{\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).