Giải các phương trình sau

a) \(\sin \left( {3x - \frac{{3\pi }}{4}} \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right)\);                             b) \(\cos \left( {2x + 25^\circ } \right) = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

a) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_5} = 51\\{u_2} + {u_6} = 102\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_1}{q^4} = 51\\{u_1}q + {u_1}{q^5} = 102\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}(1 + {q^4}) = 51{\rm{   }}\\{u_1}q(1 + {q^4}) = 102\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}(1 + {q^4}) = 51{\rm{   }}\\q.51 = 102\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\q = 2\end{array} \right.\).

b) Có \({S_n} = 3069 \Leftrightarrow {u_1}.\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}} = 3069 \Leftrightarrow 3.\frac{{1 - {2^n}}}{{1 - 2}} = 3069 \Leftrightarrow {2^n} = 1024 \Rightarrow n = 10\).

Kết luận tổng của 10 số hạng đầu tiên bằng 3069.

c) Có \({u_k} = 12288 \Leftrightarrow {u_1}.{q^{k - 1}} = 12288 \Leftrightarrow {3.2^{k - 1}} = 12288 \Leftrightarrow {2^{k - 1}} = 4096 = {2^{12}}\)

\( \Rightarrow k - 1 = 12 \Leftrightarrow k = 13\).

Kết luận số 12288 là số hạng thứ 13.

Theo bài ra ta có \({u_1} = \frac{1}{2}\), \({u_4} = 32\) và \({u_n} = 2048\).

\({u_4} = {u_1}.{q^3}\) \( \Rightarrow 32 = \frac{1}{2}.{q^3}\)\( \Rightarrow q = 4\)

\({u_n} = 2048\)\( \Rightarrow {u_1}.\,{q^{n - 1}} = 2048\)\( \Rightarrow {4^{n - 1}} = {4^6}\)\( \Rightarrow n = 7\)

Khi đó tổng của cấp số nhân này là \({S_7} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^7}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{\frac{1}{2}\left( {1 - {4^7}} \right)}}{{1 - 4}} = \frac{{5461}}{2}\).