Câu hỏi:

12/09/2025 317 Lưu

Cho hàm số \(y = \frac{{m{x^2} + (3{m^2} - 2)x - 2}}{{x + 3m}}\) (1), với \(m\) là số thực.

a) Khi \(m = 1\) đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị.

b) Khi \(m = 1\) đồ thị hàm số có đường tiệm cận xiên là \(y = x - 2\).

c) Khi \(m = 1\) giao điểm của đường tiệm cận xiên và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là \(I\left( {3; - 5} \right)\).

d) Có 2 giá trị \(m\) để góc giữa hai tiệm cận của đồ thị hàm số (1) bằng \(45^\circ \).

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

Với \(m = 1\), hàm số có dạng \(y = \frac{{{x^2} + x - 2}}{{x + 3}} = x - 2 + \frac{4}{{x + 3}}\).

a) Ta có \(y' = 1 - \frac{4}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}\); \(y' = 0 \Leftrightarrow 1 - \frac{4}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = - 5\end{array} \right.\).

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số có 2 điểm cực trị.

b) Có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left( {x - 2} \right)} \right] = 0\) nên \(y = x - 2\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ + }} \frac{{{x^2} + x - 2}}{{x + 3}} = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ - }} \frac{{{x^2} + x - 2}}{{x + 3}} = - \infty \) nên \(x = - 3\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Thay \(x = - 3\) vào \(y = x - 2\) được \(y = 1\).

Do đó giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận xiên là \(I\left( { - 3;1} \right)\).

d) Ta có: \(y = \frac{{m{x^2} + (3{m^2} - 2)x - 2}}{{x + 3m}} = mx - 2 + \frac{{6m - 2}}{{x + 3m}}\)

* Nếu \(m = \frac{1}{3}\) đồ thị hàm số không tồn tại hai tiệm cận

* Nếu \(m \ne \frac{1}{3}\), đồ thị hàm số có hai tiệm cận

\({d_1}:x = - 3m \Leftrightarrow x + 3m = 0\)\({d_2}:y = mx - 2 \Leftrightarrow mx - y - 2 = 0\).

\( \Rightarrow \overrightarrow {{n_1}} (1;0),{\rm{ }}\overrightarrow {{n_2}} (m; - 1)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của \({d_1}\)\({d_2}\).

Góc giữa \({d_1}\)\({d_2}\) bằng \(45^\circ \Leftrightarrow \cos 45^\circ = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left| m \right|}}{{\sqrt {{m^2} + 1} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow m = \pm 1\).

Đáp án: a) Đúng;   b) Đúng;   c) Sai; d) Đúng.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Ta có \(y = ax + b\) là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Từ đồ thị ta suy ra được \(y = x + 1\) là tiệm cận xiên nên \(a = 1,b = 1\)

\(x = 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số nên \(c = - 1\)

Vậy \(a + b + c = 1\).

Trả lời: 1.

Câu 2

A. \(y = \frac{{{x^2} - 3}}{{x - 2}}\).                                                

B. \(y = \frac{{{x^2} - 4x + 2}}{{x - 2}}\).

C.\(y = \frac{{{x^2} - x}}{{x - 2}}\).                       
D. \(y = \frac{{{x^2} - 4x + 5}}{{x - 2}}\).

Lời giải

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy

Tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = 2\).

Đạo hàm \(y' > 0\) với mọi \(x \ne 2\)

+) Xét đáp án A: Có \(y' = \frac{{2x\left( {x - 2} \right) - \left( {{x^2} - 3} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 4x + 3}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\). Loại.

+) Xét đáp án B: Có \(y' = \frac{{\left( {2x - 4} \right)\left( {x - 2} \right) - \left( {{x^2} - 4x + 2} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 4x + 6}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 2}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} > 0,\forall x \ne 2\). Chọn.

+) Xét đáp án C: Có \(y' = \frac{{\left( {2x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) - \left( {{x^2} - x} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \)\( = \frac{{{x^2} - 4x + 2}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\). Loại.

+) Xét đáp án D: Có \(y' = \frac{{\left( {2x - 4} \right)\left( {x - 2} \right) - \left( {{x^2} - 4x + 5} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 4x + 3}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\). Loại. Chọn B.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP