Cho hàm số \(y = f(x) = \frac{{{x^2} + 3x + 3}}{{x + 2}}\) có đồ thị là đường cong \((C)\)

a) Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 3\,;\, - 2} \right)\) và \(\left( { - 2\,;\, - 1} \right)\).

b) Biết hàm số có 2 điểm cực trị khi đó tổng của giá trị cực đại và giá trị cực tiểu bằng \( - 4\).

c) Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là đường thẳng \(y = - x + 1\).

d) Tiếp tuyến với \((C)\) vuông góc với đường thẳng \(x - 3y - 6 = 0\) đi qua điểm \(B\left( { - \frac{3}{2},\frac{3}{2}} \right)\).

a) Ta có: \(f(x) = \frac{{{x^2} + 3x + 3}}{{x + 2}} = x + 1 + \frac{1}{{x + 2}}\).

Tâp xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \{ - 2\} \).

Ta có: \(f'\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{{{(x + 2)}^2}}}\) ;

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1 \Rightarrow y = 1}\\{x = - 3 \Rightarrow y = - 3}\end{array}} \right.\).

Khi đó, ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - 3\,;\, - 2} \right)\) và \(\left( { - 2\,;\, - 1} \right)\).

b) Dựa vào bảng biến thiên

Ta có:

c) Ta có: \(f\left( x \right) = x + 1 + \frac{1}{{x + 2}}\)

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - (x + 1)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{1}{{x + 2}}} \right) = 0\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f\left( x \right) - (x + 1)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{1}{{x + 2}}} \right) = 0\)

Suy ra \(y = x + 1\) là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

d) Đường thẳng \((d):x - 3y - 6 = 0\) có hệ số góc \({k_1} = \frac{1}{3}\)

 \( \Rightarrow \)Tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng \((d)\) có hệ số góc \({k_2} = - 3\)

Xét phương trình \(f'\left( x \right) = - 3\)

\( \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{{{(x + 2)}^2}}} = - 3\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ne - 2}\\{{x^2} + 4x + 3 = - 3{x^2} - 12x - 12}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ne - 2}\\{4{x^2} + 16x + 15 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - \frac{5}{2} \Rightarrow y = - \frac{7}{2}}\\{x = - \frac{3}{2} \Rightarrow y = \frac{3}{2}}\end{array}} \right.} \right.\)

Tại \(A\left( { - \frac{5}{2}, - \frac{7}{2}} \right)\) có tiếp tuyến \(\left( {{T_1}} \right):y = - 3\left( {x + \frac{5}{2}} \right) - \frac{7}{2} \Leftrightarrow y = - 3x - 11\)

Tại \(B\left( { - \frac{3}{2},\frac{3}{2}} \right)\) có tiếp tuyến \(\left( {{T_2}} \right):y = - 3\left( {x + \frac{3}{2}} \right) + \frac{3}{2} \Leftrightarrow y = - 3x - 3\).

Vậy tiếp tuyến với \((C)\) vuông góc với đường thẳng \(x - 3y - 6 = 0\) đi qua điểm \(B\left( { - \frac{3}{2},\frac{3}{2}} \right)\).