Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình chữ nhật. Biết rằng cạnh \[AB = a\], \[AD = 2a\], cạnh bên \[SA = 2a\] và vuông góc với mặt đáy. Gọi \[M\], \[N\] lần lượt là trung điểm của các cạnh \[SB\], \[SD\].

a) Hai vectơ \[\overrightarrow {AB\,} \], \[\overrightarrow {CD\,} \] là hai vectơ cùng phương, cùng hướng.

b) Góc giữa hai vectơ \[\overrightarrow {SC\,} \] và \[\overrightarrow {AC\,} \] bằng \[60^\circ \].

c) Tích vô hướng \[\overrightarrow {AM\,} \cdot \,\overrightarrow {AB\,} = \frac{{{a^2}}}{2}\].

d) Độ dài của vectơ \[\overrightarrow {AM\,} - \overrightarrow {AN\,} \] là \[\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\].

a) Ta thấy: \[ABCD\] là hình chữ nhật nên \[AB//CD\].

Suy ra: hai vectơ \[\overrightarrow {AB\,} \], \[\overrightarrow {CD\,} \] là hai vectơ cùng phương, ngược hướng.

b) Ta có: \[ABCD\] là hình chữ nhật nên: \[AC = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = a\sqrt 5 \].

Hình chóp \[S.ABCD\] có \[SA\] vuông góc với mặt đáy nên tam giác \[SAC\] là tam giác vuông tại \[A\]. Suy ra: \[\tan \widehat {SCA\,} = \frac{{SA}}{{AC}} = \frac{{2a}}{{a\sqrt 5 }}\,\, \Rightarrow \,\,\widehat {SCA\,} \approx 41^\circ 48\prime \].

Ta có: \[\left( {\overrightarrow {SC\,} ,\,\overrightarrow {AC\,} } \right) = \left( {\overrightarrow {CS\,} ,\,\overrightarrow {CA\,} } \right) = \widehat {SCA} \approx 41^\circ 48\prime \].

c) Hình chóp \[S.ABCD\] có \[SA\] vuông góc với mặt đáy nên tam giác \[SAB\] là tam giác vuông tại \[A\].

Suy ra: \[SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = a\sqrt 5 \].

Trong tam giác \[SAB\] vuông tại \[A\] có \[AM\] là đường trung tuyến nên\[AM = \frac{1}{2}SB = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\].

Lại có: \[M\] là trung điểm của \[SB\] nên \[MB = \frac{1}{2}SB = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\].

Ta tính được: \[\cos \widehat {MAB\,} = \frac{{M{A^2} + A{B^2} - M{B^2}}}{{2MA.\,AB}} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\].

Mà: \[\left( {\overrightarrow {AM\,} ,\,\overrightarrow {AB\,} } \right) = \widehat {MAB\,}\], suy ra:

\[\overrightarrow {AM\,} \cdot \,\overrightarrow {AB\,} = \left| {\overrightarrow {AM\,} } \right|.\,\left| {\overrightarrow {AB\,} } \right|.\,\cos \left( {\overrightarrow {AM\,} ,\,\overrightarrow {AB\,} } \right) = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}.\,a.\,\frac{{\sqrt 5 }}{5} = \frac{{{a^2}}}{2}\].

d) Ta có: \[M\], \[N\] lần lượt là trung điểm của các cạnh \[SB\], \[SD\] nên \[MN\] là đường trung bình của tam giác \[SBD\]. Do đó: \[MN = \frac{1}{2}BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\].

Suy ra: \[\left| {\overrightarrow {AM\,} - \overrightarrow {AN\,} } \right| = \left| {\overrightarrow {MN\,} } \right| = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\].

Đáp án: a) Sai;   b) Sai;   c) Đúng;    d) Sai.