Có hai xã \(A,\,B\) cùng ở một bên bờ sông. Khoảng cách từ hai xã đó đến bờ sông lần lượt là \(AA' = 550\)m, \(BB' = 600\)m. Người ta đo được \(A'B' = 2200\)m như hình vẽ dưới đây. Các kỹ sư muốn xây dựng một trạm cung cấp nước sạch nằm cạnh bên bờ sông cho người dân của hai xã sử dụng. Để tiết kiệm chi phí, các kỹ sư phải chọn một vị trí \(M\) của trạm cung cấp nước sạch đó trên đoạn \(A'B'\) sao cho tổng khoảng cách từ hai xã đến vị trí \(M\) là nhỏ nhất. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách đó.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề cương ôn tập giữa kì 1 Toán 12 Kết nối tri thức cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đặt \(A'M = x\,\,\left( {0 < x < 2200} \right)\), \(B'M = 2200 - x\)

Ta có \(AM = \sqrt {{x^2} + {{500}^2}} \,,\,\,BM = \sqrt {{{\left( {2200 - x} \right)}^2} + {{600}^2}} \)

Khi đó tổng khoảng cách từ hai xã đến vị trí \(M\) là:

\(AM + BM = \sqrt {{x^2} + {{500}^2}} \, + \sqrt {{{\left( {2200 - x} \right)}^2} + {{600}^2}} \)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} + {{500}^2}} \, + \sqrt {{{\left( {2200 - x} \right)}^2} + {{600}^2}} \) trên khoảng \(\left( {0;\,2200} \right)\)

Đạo hàm \(f'\left( x \right) = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {{500}^2}} }} - \frac{{2200 - x}}{{\sqrt {{{\left( {2200 - x} \right)}^2} + {{600}^2}} }} = 0 \Leftrightarrow x = 1000\)

Bảng biến thiên:

A diagram of numbers and a line

Description automatically generated with medium confidence

Vậy giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách từ hai xã đó đến bờ sông là khoảng \(2460\)m, tại vị trí \(M\) cách điểm \(A'\) là \(1000\)m.

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hình lập phương \[ABCD.A'B'C'D'\] có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của \(A'D'\) và \(C'D'\). Tính tích vô hướng \(\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {C'B} \).

Xem đáp án

Lời giải

Ảnh có chứa hàng, biểu đồ, hình tam giác, nghệ thuật gấp giấy origami

Nội dung do AI tạo ra có thể không chính xác.

Vì \(MN//A'C'\) nên \(\left( {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {C'B} } \right) = \left( {\overrightarrow {A'C'} ,\overrightarrow {C'B} } \right) = 180^\circ - \widehat {A'C'B} = 120^\circ \).

Ta có \(MN = \frac{{a\sqrt 2 }}{2},C'B = a\sqrt 2 \).

Suy ra \(\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {C'B} = \left| {\overrightarrow {MN} } \right|.\left| {\overrightarrow {C'B} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {C'B} } \right) = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.a\sqrt 2 .\cos 120^\circ = - 0,5{a^2}\).

Câu 2

Cho tứ diện ABCD có AC và BD cùng vuông góc với AB. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB, CD. Chứng minh \(IJ \bot AB\).

Xem đáp án

Lời giải

Ảnh có chứa hàng, hình tam giác

Nội dung do AI tạo ra có thể không chính xác.

Từ giả thiết ta có \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BD} = 0\).

I là trung điểm của AB nên \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \).

J là trung điểm của CD nên \(\overrightarrow {CJ} + \overrightarrow {DJ} = \overrightarrow 0 \).

Lại có \(\overrightarrow {IJ} = \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CJ} ;\overrightarrow {IJ} = \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DJ} \).

Suy ra \(2\overrightarrow {IJ} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} \Rightarrow \overrightarrow {IJ} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right)\).

Do đó \(\overrightarrow {IJ} .\overrightarrow {AB} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right).\overrightarrow {AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BD} .\overrightarrow {AB} = 0\).

Suy ra \(\overrightarrow {IJ} \bot \overrightarrow {AB} \) hay \(IJ \bot AB\).

Câu 3