Cho tam giác \(ABC\). Giá trị biểu thức \(a = \sin \left( {A + B} \right)\sin C - \cos \left( {A + B} \right)\cos C\) là \(a \in \mathbb{N}\). Tính giá trị của \(2025a + 2026\).

a) Vì \(90^\circ < \alpha < 180^\circ \) nên \(\cos \alpha < 0\). Suy ra \(\sin \alpha .\cos \alpha < 0\).

b) Có \({\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = \frac{8}{9}\) \( \Rightarrow \cos \alpha = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\) vì \(\cos \alpha < 0\).

c) Ta có \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{1}{3}:\frac{{ - 2\sqrt 2 }}{3} = - \frac{{\sqrt 2 }}{4}\).

d) \(\frac{{6\sin \alpha + 3\sqrt 2 \cos \alpha }}{{2\sqrt 2 \tan \alpha + \sqrt 2 \cot \alpha }} = \frac{{6\sin \alpha + 3\sqrt 2 \cos \alpha }}{{2\sqrt 2 \tan \alpha + \frac{{\sqrt 2 }}{{\tan \alpha }}}}\)\( = \frac{{6.\frac{1}{3} + 3\sqrt 2 .\frac{{ - 2\sqrt 2 }}{3}}}{{2\sqrt 2 .\frac{{ - \sqrt 2 }}{4} - \frac{{\sqrt 2 }}{{\frac{{\sqrt 2 }}{4}}}}}\)\( = \frac{2}{5}\).

Đáp án: a) Đúng;   b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

\(S = {\cos ^2}5^\circ + {\cos ^2}10^\circ + {\cos ^2}15^\circ + ... + {\cos ^2}80^\circ + {\cos ^2}85^\circ \)

\( = {\cos ^2}5^\circ + {\cos ^2}10^\circ + {\cos ^2}15^\circ + ... + {\sin ^2}15^\circ + {\sin ^2}10^\circ + {\sin ^2}5^\circ \)

\[ = \left( {{{\cos }^2}5^\circ + {{\sin }^2}5^\circ } \right) + \left( {{{\cos }^2}10^\circ + {{\sin }^2}10^\circ } \right) + \left( {{{\cos }^2}15^\circ + {{\sin }^2}15^\circ } \right) + ... + \left( {{{\cos }^2}40^\circ + {{\sin }^2}40^\circ } \right) + {\cos ^2}45^\circ \]

\[ = 1 + 1 + 1 + ... + 1 + {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2}\]

\[ = 8 + \frac{1}{2} = 8,5\].

Trả lời: 8,5.