Trên sườn đồi có 1 cái cây thẳng đứng (tham khảo hình vẽ) đổ bóng dài AB = 39,5 m xuống đồi. Biết góc nghiêng của sườn đổi là \(\alpha = \widehat {OAB} = 26^\circ \) so với phương ngang và góc nâng của mặt trời là \(\beta = \widehat {OAC} = 50^\circ \). Tính chiều cao BC của cái cây (đơn vị tính là mét và làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng đơn vị không làm tròn các kết quả trung gian).

a) Ta có \(\frac{{\sin \alpha - \cos \alpha }}{{2\sin \alpha + 3\cos \alpha }} = \frac{{\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} - 1}}{{2\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} + 3}}\)\( = \frac{{\tan \alpha - 1}}{{2.\tan \alpha + 3}}\)\( = \frac{{ - 2 - 1}}{{2.\left( { - 2} \right) + 3}} = 3\).

b) Vì \(90^\circ < \alpha < 180^\circ \) nên \(\cos \alpha < 0\).

c) Có \({\cos ^2}\alpha = \frac{1}{{1 + {{\tan }^2}\alpha }} = \frac{1}{{1 + {{\left( { - 2} \right)}^2}}} = \frac{1}{5}\).

d) Có \(\sin \left( {180^\circ - \alpha } \right) = \sin \alpha \).

Có \({\sin ^2}\alpha = 1 - {\cos ^2}\alpha = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5} \Rightarrow \sin \alpha = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\) vì \(90^\circ < \alpha < 180^\circ \).

Đáp án: a) Đúng;   b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

a) Do \(90^\circ < x < 180^\circ \) nên \(\cos x < 0\).

b) Ta có \({\cos ^2}x = 1 - {\sin ^2}x = 1 - \frac{{25}}{{169}} = \frac{{144}}{{169}}\).

Do đó \(P = 2{\sin ^2}x - {\cos ^2}x = 2.\left( {\frac{{25}}{{169}}} \right) - \frac{{144}}{{169}} = - \frac{{94}}{{169}}\).

c) Do \(\cos x < 0\) và \({\cos ^2}x = \frac{{144}}{{169}}\) nên \(\cos x = - \frac{{12}}{{13}}\).

Suy ra \(\tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}} = - \frac{5}{{12}}\).

d) Ta có \(A = \frac{{{{\sin }^2}x}}{{1 + {{\cos }^2}x}} = \frac{{{{\sin }^2}x}}{{1 + 1 - {{\sin }^2}x}} = \frac{{{{\left( {\frac{5}{{13}}} \right)}^2}}}{{2 - {{\left( {\frac{5}{{13}}} \right)}^2}}} = \frac{{25}}{{313}}\).

Đáp án: a) Sai;   b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.