Cho tam giác ABC có \(a = 15;b = 20;c = 25\).

a) Tính diện tích tam giác ABC.

b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Tính giá trị của các biểu thức sau

a) \(M = \sin 45^\circ .\cos 45^\circ + \sin 30^\circ \);                                                                                           b) \(Q = \frac{1}{{{{\sin }^2}120^\circ }} - {\cot ^2}120^\circ \).

Một cái cây dạng thẳng đứng bị gió mạnh làm gãy không hoàn toàn (hai đoạn thân bị gãy vẫn dính liền nhau như hình vẽ). Một người muốn đo chiều cao của cây trước khi gãy, người ấy đo được đoạn thẳng nối từ gốc cây đến ngọn cây (đã ngã) là AB = 6 m, hai góc \(\widehat {CAB} = 76^\circ ;\widehat {CBA} = 35^\circ \). Tính chiều dài của cây trước khi bị gãy (giả sử sự biến hạng lúc dãy không ảnh hưởng đến tổng chiều dài của cây) (làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm không làm tròn các kết quả trung gian).

Cho 2 tập hợp \(A = \left[ {m - 10\,\,;\,\,m - 2} \right]\) và \(B = \left( {3\,;\,4} \right)\). Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để \(A \cap B = \emptyset \).

Cho tam giác ABC, biết AB = 13 cm, BC = 15 cm, \(\widehat B = 60^\circ \).

a) Công thức tính diện tích tam giác ABC là \(S = \frac{1}{2}BA.BC.\sin A\).

b) Diện tích tam giác ABC là \(S = \frac{{195\sqrt 3 }}{4}\) cm².

c) Độ dài cạnh \(AC = \sqrt {199} \) cm.

d) Độ dài bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác ABC là \(r = 2 + \sqrt 3 \) cm.

Cho tam giác ABC có a = 8; b = 6; c = 5.

a) Chu vi của tam giác ABC là 19.

b) \(\cos A = - \frac{1}{{20}}\).

c) Diện tích tam giác ABC là \(S = 14,98\) (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

d) Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là \(R = \frac{{320}}{{\sqrt {399} }}\).

Trên sườn đồi có 1 cái cây thẳng đứng (tham khảo hình vẽ) đổ bóng dài AB = 39,5 m xuống đồi. Biết góc nghiêng của sườn đổi là \(\alpha = \widehat {OAB} = 26^\circ \) so với phương ngang và góc nâng của mặt trời là \(\beta = \widehat {OAC} = 50^\circ \). Tính chiều cao BC của cái cây (đơn vị tính là mét và làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng đơn vị không làm tròn các kết quả trung gian).