Tại một khu hội chợ người ta thiết kế cổng chào có hình parabol hướng bề lõm xuống dưới. Giả sử lập một hệ trục tọa độ \[Oxy\] sao cho một chân cổng đi qua gốc \(O\) như hình vẽ (\(x\) và \(y\) tính bằng mét). Chân kia của cổng ở vị trí \(\left( {4\,;0} \right)\).

Biết một điểm \(M\) trên cổng có tọa độ \(\left( {1\,;3} \right)\). Hỏi chiều cao của cổng (vị trí cao nhất của cổng tới mặt đất) là bao nhiêu mét?

Cổng dạng parabol có thể xem là đồ thị của hàm số bậc hai: \(y = a{x^2} + bx + c\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) \(\left( P \right)\).

Theo bài ra ta có \(\left( P \right)\) đi qua 3 điểm sau: \(O\left( {0\,;\,0} \right),\,M\left( {1\,;\,3} \right),\,N\left( {4\,;\,0} \right)\).

Suy ra ta có hệ phương trình sau: \(\left\{ \begin{array}{l}c = 0\\a + b + c = 3\\16a + 4b + c = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \) \(\left\{ \begin{array}{l}c = 0\\a =  - 1\\b = 4\end{array} \right.\).

Vậy parabol \(\left( P \right)\) có phương trình là: \(y =  - {x^2} + 4x\). Parabol \(\left( P \right)\) có đỉnh là \(D\left( {2\,;\,4} \right)\).

Chiều cao của cổng là tung độ đỉnh của parabol \(\left( P \right)\):\(y =  - {x^2} + 4x\).

Vậy chiều cao của cổng là 4 mét.