Cho \(\Delta ABC.\) Lấy điểm \(D\) thuộc cạnh \(AB,\) điểm \(E\) thuộc cạnh \(AC.\) Để \(DE\;{\rm{//}}\;BC\) thì:

Đáp án: \(6\)

Qua \(D\) kẻ đường thẳng song song với \(KB\) cắt \(AC\) tại \(M.\)

Vì \(\frac{{BD}}{{CD}} = 3\) nên \(\frac{{BD}}{{BC}} = \frac{3}{4}.\) Vì \(AE = \frac{1}{3}AD\) nên \(\frac{{AE}}{{ED}} = \frac{1}{2}.\)

Tam giác \(AMD\) có \(KE\;{\rm{//}}\;MD\) nên theo định lí Thalès ta có: \(\frac{{AK}}{{KM}} = \frac{{AE}}{{ED}} = \frac{1}{2}\) hay \(AK = \frac{1}{2}KM.\)

Tam giác \(CKB\) có \(KB\;{\rm{//}}\;MD\) nên theo định lí Thalès ta có: \(\frac{{KM}}{{KC}} = \frac{{BD}}{{BC}} = \frac{3}{4}\) hay \(KM = \frac{3}{4}KC.\)

Do đó, \(AK = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}KC = \frac{3}{8}KC.\) Do đó, \(AK = \frac{3}{{11}}AC = \frac{3}{{11}} \cdot 22 = 6\;\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

Vậy \(AK = 6\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\)

Đáp án: \(120\)

Vì tam giác \(ABC\) có: \(FE\;{\rm{//}}\;AB\) nên theo định lí Thalès ta có: \(\frac{{AF}}{{FC}} = \frac{{BE}}{{EC}}.\)

Do đó, \(BE = \frac{{AF}}{{FC}} \cdot EC = \frac{{80}}{{40}} \cdot 60 = 120\;\left( {\rm{m}} \right).\)

Vậy khoảng cách giữa hai vị trí \(E\) và \(B\) bằng \(120\;{\rm{m}}{\rm{.}}\)