Cho \(\Delta ABC.\) Lấy điểm \(D\) bất kì trên cạnh \(BC.\) Qua \(D\) kẻ đường thẳng song song với \(AB\) cắt \(AC\) tại \(F.\) Qua \(D\) kẻ đường thẳng song song với \(AC\) cắt \(AB\) tại \(E.\)

a) Tứ giác \(AEDF\) là hình bình hành.

b) \(\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{CD}}{{BC}}.\)

c) \(\frac{{ED}}{{AC}} = \frac{{BD}}{{BC}}.\)

d) \(\frac{{DF}}{{AB}} + \frac{{ED}}{{AC}} = 2.\)

Đáp án: \(6\)

Qua \(D\) kẻ đường thẳng song song với \(KB\) cắt \(AC\) tại \(M.\)

Vì \(\frac{{BD}}{{CD}} = 3\) nên \(\frac{{BD}}{{BC}} = \frac{3}{4}.\) Vì \(AE = \frac{1}{3}AD\) nên \(\frac{{AE}}{{ED}} = \frac{1}{2}.\)

Tam giác \(AMD\) có \(KE\;{\rm{//}}\;MD\) nên theo định lí Thalès ta có: \(\frac{{AK}}{{KM}} = \frac{{AE}}{{ED}} = \frac{1}{2}\) hay \(AK = \frac{1}{2}KM.\)

Tam giác \(CKB\) có \(KB\;{\rm{//}}\;MD\) nên theo định lí Thalès ta có: \(\frac{{KM}}{{KC}} = \frac{{BD}}{{BC}} = \frac{3}{4}\) hay \(KM = \frac{3}{4}KC.\)

Do đó, \(AK = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}KC = \frac{3}{8}KC.\) Do đó, \(AK = \frac{3}{{11}}AC = \frac{3}{{11}} \cdot 22 = 6\;\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

Vậy \(AK = 6\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\)

Đáp án: \(120\)

Vì tam giác \(ABC\) có: \(FE\;{\rm{//}}\;AB\) nên theo định lí Thalès ta có: \(\frac{{AF}}{{FC}} = \frac{{BE}}{{EC}}.\)

Do đó, \(BE = \frac{{AF}}{{FC}} \cdot EC = \frac{{80}}{{40}} \cdot 60 = 120\;\left( {\rm{m}} \right).\)

Vậy khoảng cách giữa hai vị trí \(E\) và \(B\) bằng \(120\;{\rm{m}}{\rm{.}}\)