Cho tam giác \(ABC\) nhọn có đường cao \(AH\). Trên \(AH\) lấy các điểm \(K,I\) sao cho \(AK = KI = IH.\) Qua \(K,I\) lần lượt vẽ các đường thẳng \(MN\parallel BC,{\rm{ }}EF\parallel BC\) (\(M,E \in AB,\) \(N,F \in AC\)).

a) \(\frac{{MN}}{{BC}} = \frac{{AN}}{{AC}}.\)

b) \(\frac{{EF}}{{BC}} = \frac{3}{2}.\)

c) \(MNEF\) là hình bình hành.

d) Biết \({S_{ABC}} = 90{\rm{ c}}{{\rm{m}}^2},\) khi đó \({S_{MNEF}} = 30{\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}.\)

Cho hình chữ nhật \(ABCD\) có \(AB = 2AD.\) Vẽ \(BH \bot AC\). Gọi \(M,N,P\) lần lượt là trung điểm của \(AH,BH,CD.\) Gọi \(I\) là trung điểm của \(BP,{\rm{ }}J\) là giao điểm của \(MC\) và NP

Khi đó,

a) \(NP.\)

b) \(N\) là trực tâm của \(\Delta BCM.\)

c) \(BM \bot MP.\)      

d) \[2IJ = HB\].

Cho \(\Delta ABC\) nhọn \(\left( {AB < AC} \right)\), trung tuyến \(AD\). Vẽ tia phân giác \(\widehat {ADB}\) cắt \(AB\) tại \(M,\) tia phân giác \(\widehat {ADC}\) cắt \(AC\) tại \(N\). Khi đó:

a) \(\frac{{MB}}{{MA}} = \frac{{BD}}{{DA}}.\)

b) \(\frac{{NC}}{{NA}} = \frac{{DC}}{{DA}}.\)

c) \(\frac{{MB}}{{MA}} = \frac{{NA}}{{NC}}.\)

d) \(MN\parallel BC.\)

Cho \(\Delta ABC\), phân giác \(AD{\rm{ }}\left( {D \in BC} \right).\) Biết \(AB = 10{\rm{ cm}}{\rm{, }}AC = 19{\rm{ cm}}{\rm{, }}BD = 5{\rm{ cm}}\).

Độ dài của đoạn thẳng \(CD\) bằng:

Cho hĩnh vẽ dưới đây, biết \(AB\parallel EF;{\rm{ }}AF = 44,5{\rm{ cm; }}FC = 44,2{\rm{ cm; }}EF = 18,6{\rm{ cm}}{\rm{.}}\)

Tính chiều rộng khúc sông \(AB\). (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)

Giữa hai điểm \(B\) và \(C\) có một cái ao. Để đo khoảng cách \(BC\) người ta đo được các đoạn thẳng \(AD = {\rm{2 m}}{\rm{, }}BD = 10{\rm{ m}}\) và \(DE = 5{\rm{ m}}{\rm{.}}\)

Biết \(DE\parallel BC\), tính khoảng cách giữa hai điểm \(B\) và \(C.\)