Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau

            a) \[A = {\left( {{x^2} - 2} \right)^2} + 2{\left( {x - 1} \right)^2} + \left( {2 - {x^2}} \right)\left( {2 + {x^2}} \right)\].

Hướng dẫn giải

Ta có: \({x^2} + 5{y^2} - 3xy - 3x - y + 5 = 0\)

Suy ra \(2{x^2} + 10{y^2} - 6xy - 6x - 2y + 10 = 0\)

\({x^2} - 6xy + 9{y^2} + {x^2} - 6x + 9 + {y^2} - 2y + 1 = 0\)

\(\left( {{x^2} - 6xy + 9{y^2}} \right) + \left( {{x^2} - 6x + 9} \right) + \left( {{y^2} - 2y + 1} \right) = 0\)

\({\left( {x - 3y} \right)^2} + {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 0\)

Với mọi \(x,\,\,y\) ta có: \({\left( {x - 3y} \right)^2} \ge 0,\,\,{\left( {x - 3} \right)^2} \ge 0,\,\,{\left( {y - 1} \right)^2} \ge 0\)

Suy ra \({\left( {x - 3y} \right)^2} + {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} \ge 0\)

Do đó, để \({\left( {x - 3y} \right)^2} + {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 0\) thì \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\left( {x - 3y} \right)}^2} = 0}\\{{{\left( {x - 3} \right)}^2} = 0}\\{{{\left( {y - 1} \right)}^2} = 0}\end{array}} \right.\] hay \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 3y = 0}\\{x - 3 = 0}\\{y - 1 = 0}\end{array}} \right.\), tức là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3}\\{y = 1}\end{array}} \right.\).

Thay \(x = 3,\,\,y = 1\) vào biểu thức \(A,\) ta được:

\[A = \frac{{{{\left( {3 + 1 - 4} \right)}^{2222}} - {1^{2222}}}}{3} = \frac{{ - 1}}{3}.\]

c) \[C = - {x^2} + 2xy - 4{y^2} + 2x + 10y - 3\]

\[ = - \left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right) - 3{y^2} + 2x + 10y - 3\]

\[ = - \left[ {{{\left( {x - y} \right)}^2} - 2 \cdot \left( {x - y} \right) \cdot 1 + 1} \right] - 3{y^2} + 12y - 2\]

\[ = - {\left( {x - y - 1} \right)^2} - 3\left( {{y^2} - 4y + 4} \right) + 10\]

\[ = - {\left( {x - y - 1} \right)^2} - 3{\left( {y - 2} \right)^2} + 10\].

Với mọi \(x,\,\,y\) ta có \[{\left( {x - y - 1} \right)^2} \ge 0,\,\,{\left( {y - 2} \right)^2} \ge 0\] nên \[ - {\left( {x - y - 1} \right)^2} - 3{\left( {y - 2} \right)^2} \le 0\]

Suy ra \[ - {\left( {x - y - 1} \right)^2} - 3{\left( {y - 2} \right)^2} + 10 \le 10\] hay \(C \le 10.\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x - y - 1 = 0\) và \(y - 2 = 0\) hay \(x = 3,\,\,y = 2.\)

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \(C\) là \(10\) khi \(x = 3,\,\,y = 2.\)