Cho hình vẽ bên có \[\widehat {xOM} = \widehat {yON} = 30^\circ ,\,\,OI\] là tia phân giác của góc \[MON\]. Hai đường thẳng \[OI,xy\] có vuông góc với nhau hay không?

Hướng dẫn giải

Vì \(\widehat {xOM}\) và \(\widehat {MON}\) là hai góc kề nhau nên ta có: \(\widehat {xOM} + \widehat {MON} = \widehat {xON}\)

Vì \(\widehat {xON}\) và \(\widehat {NOy}\)là hai góc kề bù nên ta có: \(\widehat {xON} + \widehat {NOy} = \widehat {xOy} = 180^\circ \)

Do đó \(\widehat {xOM} + \widehat {MON} + \widehat {NOy} = 180^\circ \)

Suy ra \(\widehat {MON} = 180^\circ - \widehat {xOM} - \widehat {NOy}\)

Nên \(\widehat {MON} = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ \)

Vì \(OI\) là tia phân giác của \(\widehat {MON}\) nên ta có: \(\widehat {MOI} = \widehat {ION} = \frac{1}{2}\widehat {MON} = \frac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ \).

Vì \(\widehat {xOM}\) và \(\widehat {MOI}\) là hai góc kề nhau nên ta có: \(\widehat {xOM} + \widehat {MOI} = \widehat {xOI}\)

Suy ra \(\widehat {xOI} = 30^\circ + 60^\circ = 90^\circ \)

Do đó \(Ox\) vuông góc với \(OI\) nên \(OI\) vuông góc với \(xy\).

Vậy \(OI\) vuông góc với \(xy\).