Cho \[\Delta ABC\] cân tại \[A\] \[(\hat A < 90^\circ )\]. Gọi \[I\] là trung điểm của \[BC\]. Kẻ \[IH \bot BA\left( {H \in BA} \right),\] \[IK \bot AC(K \in AC)\].

a) Chứng minh \[\Delta IHB = \Delta IKC\].

b) Kéo dài \[KI\] và \[AB\] cắt nhau tại \[{\rm{E}}\], kéo dài \[HI\] và \[AC\] cắt nhau tại \[{\rm{F}}\]. Chứng minh  cân.

c) Chúng minh \[HK\,{\rm{//}}\,EF\].

a) Xét \[\Delta IHB\] và \[\Delta IKC\] có:

\[\widehat {IHB} = \widehat {IKC} = 90^\circ \]\[(IH \bot AB,IK \bot AC)\].

\[IB = IC\] (\[I\] là trung điểm của \[BC\])

\[\widehat {HBI} = \widehat {ICK}\] (\[\Delta ABC\] cân)

Suy ra \[\Delta IHB = \Delta IKC\] (cạnh huyền - góc nhọn)

b) Ta có: \[IH = IK\] (\[\Delta IHB = \Delta IKC\])

Xét \[\Delta HIE\] và \[\Delta KIF\] có:

\[\widehat {EHI} = \widehat {KFI}\,\,\,(IH \bot AB,IK \bot AC)\].

\[IH = IK\] (chứng minh trên)

\[\widehat {HIE} = \widehat {KIF}\] (đối đỉnh)

Suy ra \[\Delta HIE = \Delta KIF\] (g.c.g)

Do đó, \[HE = KF\] (2 cạnh tương ứng)

Ta có \[HE = HB + BE\], \[KF = KC + CF\].

Mà \[HE = KF,\] \[BH = KC\] nên \[BE = CF\].

Ta có: \[AE = AB + BE,\] \[AF = AC + CF\].

Mà \[AB = AC,BE = CF\] nên \[AE = AF\].

Do đó, \[\Delta AEF\] cân tại \[A\]

c) Ta có: \[AB = AH + HB,\] \[AC = AK + KC\].

Mà \[AB = AC,\,\,HB = KC\] nên \[AH = AK\].

Do đó \[\Delta AHK\] cân tại \[A.\]

Khi đó \[\widehat {AHK} = \frac{{180^\circ - \widehat {EAF}}}{2}\] \[\left( 1 \right)\].

Mà \[\Delta AEF\] cân tại \[A\] suy ra \[\widehat {AEF} = \frac{{180^\circ - \widehat {EAF}}}{2}\] \[\left( 2 \right)\].

Từ (1) và (2) ta có \[\widehat {AEF} = \widehat {AHK}\].

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên \[HK\,{\rm{//}}\,EF\] (theo dấu hiệu nhận biết).