Cho \[\Delta ABC\] vuông tại \(A\), kẻ \(AH \bot BC\) \(\left( {H \in BC} \right)\). Tia phân giác của \(\widehat {BAH}\) cắt \(BC\) ở \(D.\)

a) Chứng minh \(\Delta ADC\,\) cân.

b) Lấy điểm \[E\] trên cạnh BC sao cho \(BE = BA\). Kẻ \[DI \bot AB\], \(EJ \bot AC\) \(\left( {I \in AB,\,\,J \in AC} \right)\). Chứng minh \(DE = DI + EJ\).

c) Tính góc \(DAE\).

d) \(IJ\) cắt \(AD\) tại \(K\). Chứng minh \[BK\] là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\).

Vì \(AD\) là tia phân giác của \(\widehat {BAH}\) nên: \(\widehat {BAD} = \widehat {DAH} = \frac{1}{2}\widehat {BAH}\).

Ta có: \(\widehat {DAC} = \widehat {BAC} - \widehat {BAD} = 90^\circ - \widehat {BAD}\).

Xét \(\Delta AHD\) có: \(\widehat {ADC} = 90^\circ - \widehat {DAH} = 90^\circ - \widehat {BAD}\).

Do đó: \(\widehat {ADC} = \widehat {DAC}\).

Xét \(\Delta ACD\) có \(\widehat {ADC} = \widehat {DAC}\) (chứng minh trên)

Do đó: \(\Delta ADC\,\) cân tại \[C\].

b)

Xét \(\Delta ADI\) và \(\Delta AHD\) có:

\(\widehat {AID} = \widehat {AHD} = 90^\circ \).

\(\widehat {IAD} = \widehat {HAD}\) (chứng minh trên)

\(AD\) cạnh chung

Do đó: \(\Delta ADI\) = \(\Delta AHD\) (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra: \(DI = DH\) (2 cạnh tương ứng) (*)

Xét \(\Delta BAE\) có \(BE = BA\) (giả thiết) suy ra \(\Delta BAE\) cân tại \[B\] do đó \(\widehat {BAE} = \widehat {BEA}\) (2 góc ở đáy) (1)

Ta có: \(EJ \bot AC\); \(BA \bot AC\) (\(\Delta ABC\) vuông tại \(A\)) suy ra \(EJ\parallel BA\) nên \(\widehat {JEA} = \widehat {EAB}\) (so le trong) (2)

Từ (1) và (2) ta có: \(\widehat {JEA} = \widehat {BEA}\) hay \(\widehat {JEA} = \widehat {HEA}\).

Xét \(\Delta AHE\) và \(\Delta AJE\) có:

\(\widehat {AHE} = \widehat {AJE} = 90^\circ \).

\(\widehat {JEA} = \widehat {HEA}\) (chứng minh trên)

\(AE\) cạnh chung

Do đó: \(\Delta AHE\) = \(\Delta AJE\) (cạnh huyền- góc nhọn)

Suy ra: \(EH = EJ\) (2 cạnh tương ứng) (**)

Ta có: \(DE = DH + HE\), kết hợp với (*), (**) ta được: \(DE = DI + EJ\).

c) Vì \(\Delta AHE\) = \(\Delta AJE\) (chứng minh trên) nên \(\widehat {HAE} = \widehat {JAE}\) (2 góc tương ứng)

Ta có: \(\widehat {DAE} = \widehat {DAH} + \widehat {HAE} = \frac{1}{2}\widehat {BAH} + \frac{1}{2}\widehat {HAC} = \frac{1}{2}.\left( {\widehat {BAH} + \widehat {HAC}} \right) = \frac{1}{2}.90^\circ = 45^\circ \).

Vậy \(\widehat {DAE} = 45^\circ \).

d)

Ta có: \(\Delta ADI\) = \(\Delta ADH\) (câu b)  nên \(AI = AH\).

\(\Delta AHE\) = \(\Delta AJE\) (câu b) nên \(AH = AJ\).

Do đó \(AI = AJ\).

Xét \(\Delta AIJ\) có \(\widehat {IAJ} = 90^\circ ;\,\,AI = AJ\) do đó \(\Delta AIJ\) vuông cân tại \(A\) suy ra \(\widehat {AIJ} = 45^\circ \) (3)

Xét \(\Delta AIK\) và \(\Delta AHK\) có:

\(AI = AH\).

\(\widehat {IAK} = \widehat {KAH}\).

\(AK\) :cạnh chung

Suy ra \(\Delta AIK\) = \(\Delta AHK\) (c.g.c)

Có \(\Delta AIK\) = \(\Delta AHK\) (chứng minh trên) nên \(\widehat {AIK} = \widehat {AHK}\) (2 góc tương ứng) (4)

Từ (3), (4) ta có \(\widehat {AHK} = 45^\circ \).

Do đó: \(\widehat {AHK} = \frac{1}{2}\widehat {AHD}\) do đó \(HK\) là tia phân giác của \(\widehat {AHD}\).

Xét \(\Delta AHB\) có: \(HK\) là tia phân giác của \(\widehat {AHD}\);

\(AD\) là tia phân giác của \(\widehat {BAH}\);

\(AD\) cắt \(HK\) tại \(D\).

Suy ra \[BK\] là tia phân giác của góc \(ABC\) nên \(\widehat {ABK} = \widehat {EBK}\).

Do đó \[BK\] là tia phân giác của góc \(ABC\).