Câu hỏi:

23/09/2025 33

Tìm \[x\]:

b) \[\frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + ... + \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{2008}}{{2009}}\];

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề cương ôn tập cuối kì 1 Toán 7 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

b) \[\frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + ... + \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{2008}}{{2009}}\]

\[\frac{{2 - 1}}{{1.2}} + \frac{{3 - 2}}{{2.3}} + \frac{{4 - 3}}{{3.4}} + ... + \frac{{\left( {x + 1} \right) - x}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{2008}}{{2009}}\]

\[\frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}} = \frac{{2008}}{{2009}}\]

\[\frac{1}{1} - \frac{1}{{x + 1}} = \frac{{2008}}{{2009}}\]

\[\frac{x}{{x + 1}} = \frac{{2008}}{{2009}}\]

\[\frac{{2009x - 2008\left( {x + 1} \right)}}{{2009\left( {x + 1} \right)}} = 0\]

\[2009x - 2008x - 2008 = 0\]

\[x - 2008 = 0\]

\[x = 2008\].

Vậy \[x = 2008\].

Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tìm \[x\]

c) \[\frac{{x - 214}}{{86}} + \frac{{x - 132}}{{84}} + \frac{{x - 54}}{{82}} = 6\];

Xem đáp án

Lời giải

c) \[\frac{{x - 214}}{{86}} + \frac{{x - 132}}{{84}} + \frac{{x - 54}}{{82}} = 6\]

\[x\left( {\frac{1}{{86}} + \frac{1}{{84}} + \frac{1}{{82}}} \right) = 6 + \frac{{214}}{{86}} + \frac{{132}}{{84}} + \frac{{54}}{{82}}\]

\[x\left( {\frac{1}{{86}} + \frac{1}{{84}} + \frac{1}{{82}}} \right) = \left( {1 + \frac{{214}}{{86}}} \right) + \left( {2 + \frac{{132}}{{84}}} \right) + \left( {3 + \frac{{54}}{{82}}} \right)\]

\[x\left( {\frac{1}{{86}} + \frac{1}{{84}} + \frac{1}{{82}}} \right) = \frac{{300}}{{86}} + \frac{{300}}{{84}} + \frac{{300}}{{82}}\]

\[x\left( {\frac{1}{{86}} + \frac{1}{{84}} + \frac{1}{{82}}} \right) = 300\left( {\frac{1}{{86}} + \frac{1}{{84}} + \frac{1}{{82}}} \right)\]

\[x = 300\]

Vậy \[x = 300\].

Câu 2

Cho \[\Delta ABC\] vuông tại $A$, kẻ $AH \bot BC$ $\left( {H \in BC} \right)$. Tia phân giác của $\widehat {BAH}$ cắt $BC$ ở $D.$

a) Chứng minh $\Delta ADC\,$ cân.

b) Lấy điểm \[E\] trên cạnh BC sao cho $BE = BA$. Kẻ \[DI \bot AB\], $EJ \bot AC$ $\left( {I \in AB,\,\,J \in AC} \right)$. Chứng minh $DE = DI + EJ$.

c) Tính góc $DAE$.

d) $IJ$ cắt $AD$ tại $K$. Chứng minh \[BK\] là tia phân giác của $\widehat {ABC}$.

Xem đáp án

Lời giải

$Chứng minh $\Delta ADC\,$ cân. (ảnh 1)$

Vì $AD$ là tia phân giác của $\widehat {BAH}$ nên: $\widehat {BAD} = \widehat {DAH} = \frac{1}{2}\widehat {BAH}$.

Ta có: $\widehat {DAC} = \widehat {BAC} - \widehat {BAD} = 90^\circ - \widehat {BAD}$.

Xét $\Delta AHD$ có: $\widehat {ADC} = 90^\circ - \widehat {DAH} = 90^\circ - \widehat {BAD}$.

Do đó: $\widehat {ADC} = \widehat {DAC}$.

Xét $\Delta ACD$ có $\widehat {ADC} = \widehat {DAC}$ (chứng minh trên)

Do đó: $\Delta ADC\,$ cân tại \[C\].

$Chứng minh $\Delta ADC\,$ cân. (ảnh 2)$

Xét $\Delta ADI$ và $\Delta AHD$ có:

$\widehat {AID} = \widehat {AHD} = 90^\circ $.

$\widehat {IAD} = \widehat {HAD}$ (chứng minh trên)

$AD$ cạnh chung

Do đó: $\Delta ADI$ = $\Delta AHD$ (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra: $DI = DH$ (2 cạnh tương ứng) (*)

Xét $\Delta BAE$ có $BE = BA$ (giả thiết) suy ra $\Delta BAE$ cân tại \[B\] do đó $\widehat {BAE} = \widehat {BEA}$ (2 góc ở đáy) (1)

Ta có: $EJ \bot AC$; $BA \bot AC$ ($\Delta ABC$ vuông tại $A$) suy ra $EJ\parallel BA$ nên $\widehat {JEA} = \widehat {EAB}$ (so le trong) (2)

Từ (1) và (2) ta có: $\widehat {JEA} = \widehat {BEA}$ hay $\widehat {JEA} = \widehat {HEA}$.

Xét $\Delta AHE$ và $\Delta AJE$ có:

$\widehat {AHE} = \widehat {AJE} = 90^\circ $.

$\widehat {JEA} = \widehat {HEA}$ (chứng minh trên)

$AE$ cạnh chung

Do đó: $\Delta AHE$ = $\Delta AJE$ (cạnh huyền- góc nhọn)

Suy ra: $EH = EJ$ (2 cạnh tương ứng) (**)

Ta có: $DE = DH + HE$, kết hợp với (*), (**) ta được: $DE = DI + EJ$.

c) Vì $\Delta AHE$ = $\Delta AJE$ (chứng minh trên) nên $\widehat {HAE} = \widehat {JAE}$ (2 góc tương ứng)

Ta có: $\widehat {DAE} = \widehat {DAH} + \widehat {HAE} = \frac{1}{2}\widehat {BAH} + \frac{1}{2}\widehat {HAC} = \frac{1}{2}.\left( {\widehat {BAH} + \widehat {HAC}} \right) = \frac{1}{2}.90^\circ = 45^\circ $.

Vậy $\widehat {DAE} = 45^\circ $.

$Chứng minh $\Delta ADC\,$ cân. (ảnh 3)$

Ta có: $\Delta ADI$ = $\Delta ADH$ (câu b) nên $AI = AH$.

$\Delta AHE$ = $\Delta AJE$ (câu b) nên $AH = AJ$.

Do đó $AI = AJ$.

Xét $\Delta AIJ$ có $\widehat {IAJ} = 90^\circ ;\,\,AI = AJ$ do đó $\Delta AIJ$ vuông cân tại $A$ suy ra $\widehat {AIJ} = 45^\circ $ (3)

Xét $\Delta AIK$ và $\Delta AHK$ có:

$AI = AH$.

$\widehat {IAK} = \widehat {KAH}$.

$AK$ :cạnh chung

Suy ra $\Delta AIK$ = $\Delta AHK$ (c.g.c)

Có $\Delta AIK$ = $\Delta AHK$ (chứng minh trên) nên $\widehat {AIK} = \widehat {AHK}$ (2 góc tương ứng) (4)

Từ (3), (4) ta có $\widehat {AHK} = 45^\circ $.

Do đó: $\widehat {AHK} = \frac{1}{2}\widehat {AHD}$ do đó $HK$ là tia phân giác của $\widehat {AHD}$.

Xét $\Delta AHB$ có: $HK$ là tia phân giác của $\widehat {AHD}$;

$AD$ là tia phân giác của $\widehat {BAH}$;

$AD$ cắt $HK$ tại $D$.

Suy ra \[BK\] là tia phân giác của góc $ABC$ nên $\widehat {ABK} = \widehat {EBK}$.

Do đó \[BK\] là tia phân giác của góc $ABC$.

Câu 3