Ông Hậu khoán số tiền \[3,6\] triệu đồng để thuê sơn tường nhà ông cho một nhóm thợ. Sau khi người thứ nhất làm được 7 giờ và người thứ hai làm 4 giờ thì họ làm được \[\frac{5}{9}\] công việc. Sau đó họ cùng làm trong 4 giờ thì chỉ còn \[\frac{1}{{18}}\] bức tường chưa sơn. Vì hai người này bận công việc khác nên đưa người thứ ba làm phần còn lại. Xong việc ông Hậu trả tiền, nhưng cả ba lúng túng không biết phân chia như thế nào. Ông Hậu nói phải chia theo phần công việc mỗi người đã làm chứ không theo giờ làm được vì năng suất mỗi người không như nhau. Em hay giúp ông Hậu tính toán tiền công của mỗi người.

Vì \(AD\) là tia phân giác của \(\widehat {BAH}\) nên: \(\widehat {BAD} = \widehat {DAH} = \frac{1}{2}\widehat {BAH}\).

Ta có: \(\widehat {DAC} = \widehat {BAC} - \widehat {BAD} = 90^\circ - \widehat {BAD}\).

Xét \(\Delta AHD\) có: \(\widehat {ADC} = 90^\circ - \widehat {DAH} = 90^\circ - \widehat {BAD}\).

Do đó: \(\widehat {ADC} = \widehat {DAC}\).

Xét \(\Delta ACD\) có \(\widehat {ADC} = \widehat {DAC}\) (chứng minh trên)

Do đó: \(\Delta ADC\,\) cân tại \[C\].

b)

Xét \(\Delta ADI\) và \(\Delta AHD\) có:

\(\widehat {AID} = \widehat {AHD} = 90^\circ \).

\(\widehat {IAD} = \widehat {HAD}\) (chứng minh trên)

\(AD\) cạnh chung

Do đó: \(\Delta ADI\) = \(\Delta AHD\) (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra: \(DI = DH\) (2 cạnh tương ứng) (*)

Xét \(\Delta BAE\) có \(BE = BA\) (giả thiết) suy ra \(\Delta BAE\) cân tại \[B\] do đó \(\widehat {BAE} = \widehat {BEA}\) (2 góc ở đáy) (1)

Ta có: \(EJ \bot AC\); \(BA \bot AC\) (\(\Delta ABC\) vuông tại \(A\)) suy ra \(EJ\parallel BA\) nên \(\widehat {JEA} = \widehat {EAB}\) (so le trong) (2)

Từ (1) và (2) ta có: \(\widehat {JEA} = \widehat {BEA}\) hay \(\widehat {JEA} = \widehat {HEA}\).

Xét \(\Delta AHE\) và \(\Delta AJE\) có:

\(\widehat {AHE} = \widehat {AJE} = 90^\circ \).

\(\widehat {JEA} = \widehat {HEA}\) (chứng minh trên)

\(AE\) cạnh chung

Do đó: \(\Delta AHE\) = \(\Delta AJE\) (cạnh huyền- góc nhọn)

Suy ra: \(EH = EJ\) (2 cạnh tương ứng) (**)

Ta có: \(DE = DH + HE\), kết hợp với (*), (**) ta được: \(DE = DI + EJ\).

c) Vì \(\Delta AHE\) = \(\Delta AJE\) (chứng minh trên) nên \(\widehat {HAE} = \widehat {JAE}\) (2 góc tương ứng)

Ta có: \(\widehat {DAE} = \widehat {DAH} + \widehat {HAE} = \frac{1}{2}\widehat {BAH} + \frac{1}{2}\widehat {HAC} = \frac{1}{2}.\left( {\widehat {BAH} + \widehat {HAC}} \right) = \frac{1}{2}.90^\circ = 45^\circ \).

Vậy \(\widehat {DAE} = 45^\circ \).

d)

Ta có: \(\Delta ADI\) = \(\Delta ADH\) (câu b)  nên \(AI = AH\).

\(\Delta AHE\) = \(\Delta AJE\) (câu b) nên \(AH = AJ\).

Do đó \(AI = AJ\).

Xét \(\Delta AIJ\) có \(\widehat {IAJ} = 90^\circ ;\,\,AI = AJ\) do đó \(\Delta AIJ\) vuông cân tại \(A\) suy ra \(\widehat {AIJ} = 45^\circ \) (3)

Xét \(\Delta AIK\) và \(\Delta AHK\) có:

\(AI = AH\).

\(\widehat {IAK} = \widehat {KAH}\).

\(AK\) :cạnh chung

Suy ra \(\Delta AIK\) = \(\Delta AHK\) (c.g.c)

Có \(\Delta AIK\) = \(\Delta AHK\) (chứng minh trên) nên \(\widehat {AIK} = \widehat {AHK}\) (2 góc tương ứng) (4)

Từ (3), (4) ta có \(\widehat {AHK} = 45^\circ \).

Do đó: \(\widehat {AHK} = \frac{1}{2}\widehat {AHD}\) do đó \(HK\) là tia phân giác của \(\widehat {AHD}\).

Xét \(\Delta AHB\) có: \(HK\) là tia phân giác của \(\widehat {AHD}\);

\(AD\) là tia phân giác của \(\widehat {BAH}\);

\(AD\) cắt \(HK\) tại \(D\).

Suy ra \[BK\] là tia phân giác của góc \(ABC\) nên \(\widehat {ABK} = \widehat {EBK}\).

Do đó \[BK\] là tia phân giác của góc \(ABC\).

a) Chứng minh: \(\Delta ABC = \Delta BAE\).

Vì \(D\) nằm trên đường trung trực của \(AB\) nên \(DA = DB\).

Suy ra \(\Delta DAB\) cân tại \(D\).

Suy ra \(\widehat {DAB} = \widehat {DBA}\) hay \(\widehat {EAB} = \widehat {CBA}\).

Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta BAE\) có:

\(AB\) cạnh chung; \(\widehat {EAB} = \widehat {CBA}\) (cmt); \(AE = BC\) (giả thiết)

Vậy \(\Delta ABC = \Delta BAE\) (c.g.c)

b) Chứng minh \(AB\,\parallel \,CE\).

Ta có \(AE = BC\) (giả thiết); \(DA = DB\) (chứng minh trên)

Suy ra \(DA - AE = DB - BC\) nên \(DE = DC\).

Do đó \(\Delta DEC\) cân tại \(D\).

Suy ra \(\widehat {DEC} = \widehat {DAB} = \frac{{180^\circ - \widehat {ADB}}}{2}\) hay \(\widehat {DEC}\) và \(\widehat {DAB}\) ở vị trí đồng vị

Do đó \(AB\,\parallel CE\).

c) Trung trực của cạnh \(AB,\,BE,\,AC\) cùng đi qua một điểm

Gọi \(H\) là giao điểm của trung trực \(AB\) và \(AC\).

Suy ra \(HA = HB = HC\).     \(\left( 1 \right)\).

Ta có \(H\) và \(D\) nằm trên trung trực của \(AB\) nên \(HD \bot AB\).

Mà \(AB\parallel CE\) nên \(HD \bot CE\).

Mặt khác \(\Delta DEC\) cân tại \(D\) có \(HD \bot CE\).

Suy ra \(HD\) là trung trực của \(CE\) hay \(HE = HC\) \(\left( 2 \right)\).

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(HB = HE\) nên \(H\) thuộc trung trực của \(BE\).

Vậy trung trực của \(AB,\,\,\,BE,\,\,\,AC\) cùng đi qua một điểm \(H\).