Cho \[{\left( {{a_1}m - {b_1}n} \right)^{2024}} + {\left( {{a_2}m - {b_2}n} \right)^{2024}} + {\left( {{a_3}m - {b_3}n} \right)^{2024}} + ... + {\left( {{a_{2025}}m - {b_{2025}}n} \right)^{2024}} \le 0\].
Chứng minh rằng: \[\frac{{{a_1} + {a_2} + {a_3} + ... + {a_{2025}}}}{{{b_1} + {b_2} + {b_3} + ... + {b_{2025}}}} = \frac{n}{m}\].

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề cương ôn tập cuối kì 1 Toán 7 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Hướng dẫn giải

Ta có: \[{\left( {{a_1}m - {b_1}n} \right)^{2024}} = {\left[ {{{\left( {{a_1}m - {b_1}n} \right)}^{1012}}} \right]^2} \ge 0\];

\[{\left( {{a_2}m - {b_2}n} \right)^{2024}} = {\left[ {{{\left( {{a_2}m - {b_2}n} \right)}^{1012}}} \right]^2} \ge 0\];

\[{\left( {{a_3}m - {b_3}n} \right)^{2024}} = {\left[ {{{\left( {{a_1}m - {b_1}n} \right)}^{1012}}} \right]^2} \ge 0\];

...

\[{\left( {{a_{2025}}m - {b_{2025}}n} \right)^{2024}} = {\left[ {{{\left( {{a_{2025}}m - {b_{2025}}n} \right)}^{1012}}} \right]^2} \ge 0\].

Do đó \[{\left( {{a_1}m - {b_1}n} \right)^{2012}} + {\left( {{a_2}m - {b_2}n} \right)^{2012}} + {\left( {{a_3}m - {b_3}n} \right)^{2024}} + ... + {\left( {{a_{2025}}m - {b_{2025}}n} \right)^{2024}} \ge 0\]

Mà đề bài cho \[{\left( {{a_1}m - {b_1}n} \right)^{2024}} + {\left( {{a_2}m - {b_2}n} \right)^{2024}} + {\left( {{a_3}m - {b_3}n} \right)^{2024}} + ... + {\left( {{a_{2025}}m - {b_{2025}}n} \right)^{2024}} \le 0\]

Suy ra \[{\left( {{a_1}m - {b_1}n} \right)^{2024}} + {\left( {{a_2}m - {b_2}n} \right)^{2024}} + {\left( {{a_3}m - {b_3}n} \right)^{2024}} + ... + {\left( {{a_{2025}}m - {b_{2025}}n} \right)^{2024}} = 0\]

Điều này xảy ra khi và chỉ khi:

\[{\left( {{a_k}m - {b_k}n} \right)^{2024}} = 0\]; \[k \in \left\{ {1\,;\,\,2\,;\,\,...\,;\,\,2025} \right\}\] nên \[{a_k}m - {b_k}n = 0\,;\,\,k \in \left\{ {1\,;\,\,2\,;\,\,...\,;\,\,2025} \right\}\].

Suy ra \[{a_k} = \frac{n}{m}{b_k}\] do đó \[{a_k} = n \cdot {t_k}\,;\,\,{b_k} = m \cdot {t_k}\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\]

\[\frac{{{a_1} + {a_2} + {a_3} + ... + {a_{2025}}}}{{{b_1} + {b_2} + {b_3} + ... + {b_{2025}}}} = \frac{{n.{t_1} + n.{t_2} + n.{t_3} + ... + n.{t_{2025}}}}{{m.{t_1} + m.{t_2} + m.{t_3} + ... + m.{t_{2025}}}}\]

\[ = \frac{{n.\left( {{t_1} + {t_2} + {t_3} + ... + {t_{2025}}} \right)}}{{m.\left( {{t_1} + {t_2} + {t_3} + ... + {t_{2025}}} \right)}} = \frac{n}{m}\].

Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tìm \[x\]:

a) \[\frac{{x + 1}}{{99}} + \frac{{x + 2}}{{98}} + \frac{{x + 3}}{{97}} + \frac{{x + 4}}{{96}} = - 4\];

Xem đáp án

Lời giải

a) \[\frac{{x + 1}}{{99}} + \frac{{x + 2}}{{98}} + \frac{{x + 3}}{{97}} + \frac{{x + 4}}{{96}} = - 4\]

\[x\left( {\frac{1}{{99}} + \frac{1}{{98}} + \frac{1}{{97}} + \frac{1}{{96}}} \right) + \left( {\frac{1}{{99}} + \frac{2}{{98}} + \frac{3}{{97}} + \frac{4}{{96}}} \right) = - 4\]

\[x\left( {\frac{1}{{99}} + \frac{1}{{98}} + \frac{1}{{97}} + \frac{1}{{96}}} \right) = - \left( {1 + \frac{1}{{99}}} \right) - \left( {1 + \frac{2}{{98}}} \right) - \left( {1 + \frac{3}{{97}}} \right) - \left( {1 + \frac{4}{{96}}} \right)\]

\[x\left( {\frac{1}{{99}} + \frac{1}{{98}} + \frac{1}{{97}} + \frac{1}{{96}}} \right) = - \frac{{100}}{{99}} - \frac{{100}}{{98}} - \frac{{100}}{{97}} - \frac{{100}}{{96}}\]

\[x\left( {\frac{1}{{99}} + \frac{1}{{98}} + \frac{1}{{97}} + \frac{1}{{96}}} \right) = - 100.\left( {\frac{1}{{99}} + \frac{1}{{98}} + \frac{1}{{97}} + \frac{1}{{96}}} \right)\]

\[x = - 100\].

Vậy \[x = - 100\].

Câu 2

Tìm \[x\]

c) \[\frac{{x - 214}}{{86}} + \frac{{x - 132}}{{84}} + \frac{{x - 54}}{{82}} = 6\];

Xem đáp án

Lời giải

c) \[\frac{{x - 214}}{{86}} + \frac{{x - 132}}{{84}} + \frac{{x - 54}}{{82}} = 6\]

\[x\left( {\frac{1}{{86}} + \frac{1}{{84}} + \frac{1}{{82}}} \right) = 6 + \frac{{214}}{{86}} + \frac{{132}}{{84}} + \frac{{54}}{{82}}\]

\[x\left( {\frac{1}{{86}} + \frac{1}{{84}} + \frac{1}{{82}}} \right) = \left( {1 + \frac{{214}}{{86}}} \right) + \left( {2 + \frac{{132}}{{84}}} \right) + \left( {3 + \frac{{54}}{{82}}} \right)\]

\[x\left( {\frac{1}{{86}} + \frac{1}{{84}} + \frac{1}{{82}}} \right) = \frac{{300}}{{86}} + \frac{{300}}{{84}} + \frac{{300}}{{82}}\]

\[x\left( {\frac{1}{{86}} + \frac{1}{{84}} + \frac{1}{{82}}} \right) = 300\left( {\frac{1}{{86}} + \frac{1}{{84}} + \frac{1}{{82}}} \right)\]

\[x = 300\]

Vậy \[x = 300\].

Câu 3