Câu hỏi:

23/09/2025 8

Cho \[{\left( {{a_1}m - {b_1}n} \right)^{2024}} + {\left( {{a_2}m - {b_2}n} \right)^{2024}} + {\left( {{a_3}m - {b_3}n} \right)^{2024}} + ... + {\left( {{a_{2025}}m - {b_{2025}}n} \right)^{2024}} \le 0\].
Chứng minh rằng: \[\frac{{{a_1} + {a_2} + {a_3} + ... + {a_{2025}}}}{{{b_1} + {b_2} + {b_3} + ... + {b_{2025}}}} = \frac{n}{m}\].

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề cương ôn tập cuối kì 1 Toán 7 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Hướng dẫn giải

Ta có: \[{\left( {{a_1}m - {b_1}n} \right)^{2024}} = {\left[ {{{\left( {{a_1}m - {b_1}n} \right)}^{1012}}} \right]^2} \ge 0\];

\[{\left( {{a_2}m - {b_2}n} \right)^{2024}} = {\left[ {{{\left( {{a_2}m - {b_2}n} \right)}^{1012}}} \right]^2} \ge 0\];

\[{\left( {{a_3}m - {b_3}n} \right)^{2024}} = {\left[ {{{\left( {{a_1}m - {b_1}n} \right)}^{1012}}} \right]^2} \ge 0\];

...

\[{\left( {{a_{2025}}m - {b_{2025}}n} \right)^{2024}} = {\left[ {{{\left( {{a_{2025}}m - {b_{2025}}n} \right)}^{1012}}} \right]^2} \ge 0\].

Do đó \[{\left( {{a_1}m - {b_1}n} \right)^{2012}} + {\left( {{a_2}m - {b_2}n} \right)^{2012}} + {\left( {{a_3}m - {b_3}n} \right)^{2024}} + ... + {\left( {{a_{2025}}m - {b_{2025}}n} \right)^{2024}} \ge 0\]

Mà đề bài cho \[{\left( {{a_1}m - {b_1}n} \right)^{2024}} + {\left( {{a_2}m - {b_2}n} \right)^{2024}} + {\left( {{a_3}m - {b_3}n} \right)^{2024}} + ... + {\left( {{a_{2025}}m - {b_{2025}}n} \right)^{2024}} \le 0\]

Suy ra \[{\left( {{a_1}m - {b_1}n} \right)^{2024}} + {\left( {{a_2}m - {b_2}n} \right)^{2024}} + {\left( {{a_3}m - {b_3}n} \right)^{2024}} + ... + {\left( {{a_{2025}}m - {b_{2025}}n} \right)^{2024}} = 0\]

Điều này xảy ra khi và chỉ khi:

\[{\left( {{a_k}m - {b_k}n} \right)^{2024}} = 0\]; \[k \in \left\{ {1\,;\,\,2\,;\,\,...\,;\,\,2025} \right\}\] nên \[{a_k}m - {b_k}n = 0\,;\,\,k \in \left\{ {1\,;\,\,2\,;\,\,...\,;\,\,2025} \right\}\].

Suy ra \[{a_k} = \frac{n}{m}{b_k}\] do đó \[{a_k} = n \cdot {t_k}\,;\,\,{b_k} = m \cdot {t_k}\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\]

\[\frac{{{a_1} + {a_2} + {a_3} + ... + {a_{2025}}}}{{{b_1} + {b_2} + {b_3} + ... + {b_{2025}}}} = \frac{{n.{t_1} + n.{t_2} + n.{t_3} + ... + n.{t_{2025}}}}{{m.{t_1} + m.{t_2} + m.{t_3} + ... + m.{t_{2025}}}}\]

\[ = \frac{{n.\left( {{t_1} + {t_2} + {t_3} + ... + {t_{2025}}} \right)}}{{m.\left( {{t_1} + {t_2} + {t_3} + ... + {t_{2025}}} \right)}} = \frac{n}{m}\].

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho \[\Delta ABC\] vuông tại $A$, kẻ $AH \bot BC$ $\left( {H \in BC} \right)$. Tia phân giác của $\widehat {BAH}$ cắt $BC$ ở $D.$

a) Chứng minh $\Delta ADC\,$ cân.

b) Lấy điểm \[E\] trên cạnh BC sao cho $BE = BA$. Kẻ \[DI \bot AB\], $EJ \bot AC$ $\left( {I \in AB,\,\,J \in AC} \right)$. Chứng minh $DE = DI + EJ$.

c) Tính góc $DAE$.

d) $IJ$ cắt $AD$ tại $K$. Chứng minh \[BK\] là tia phân giác của $\widehat {ABC}$.

Xem đáp án

Lời giải

$Chứng minh $\Delta ADC\,$ cân. (ảnh 1)$

Vì $AD$ là tia phân giác của $\widehat {BAH}$ nên: $\widehat {BAD} = \widehat {DAH} = \frac{1}{2}\widehat {BAH}$.

Ta có: $\widehat {DAC} = \widehat {BAC} - \widehat {BAD} = 90^\circ - \widehat {BAD}$.

Xét $\Delta AHD$ có: $\widehat {ADC} = 90^\circ - \widehat {DAH} = 90^\circ - \widehat {BAD}$.

Do đó: $\widehat {ADC} = \widehat {DAC}$.

Xét $\Delta ACD$ có $\widehat {ADC} = \widehat {DAC}$ (chứng minh trên)

Do đó: $\Delta ADC\,$ cân tại \[C\].

$Chứng minh $\Delta ADC\,$ cân. (ảnh 2)$

Xét $\Delta ADI$ và $\Delta AHD$ có:

$\widehat {AID} = \widehat {AHD} = 90^\circ $.

$\widehat {IAD} = \widehat {HAD}$ (chứng minh trên)

$AD$ cạnh chung

Do đó: $\Delta ADI$ = $\Delta AHD$ (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra: $DI = DH$ (2 cạnh tương ứng) (*)

Xét $\Delta BAE$ có $BE = BA$ (giả thiết) suy ra $\Delta BAE$ cân tại \[B\] do đó $\widehat {BAE} = \widehat {BEA}$ (2 góc ở đáy) (1)

Ta có: $EJ \bot AC$; $BA \bot AC$ ($\Delta ABC$ vuông tại $A$) suy ra $EJ\parallel BA$ nên $\widehat {JEA} = \widehat {EAB}$ (so le trong) (2)

Từ (1) và (2) ta có: $\widehat {JEA} = \widehat {BEA}$ hay $\widehat {JEA} = \widehat {HEA}$.

Xét $\Delta AHE$ và $\Delta AJE$ có:

$\widehat {AHE} = \widehat {AJE} = 90^\circ $.

$\widehat {JEA} = \widehat {HEA}$ (chứng minh trên)

$AE$ cạnh chung

Do đó: $\Delta AHE$ = $\Delta AJE$ (cạnh huyền- góc nhọn)

Suy ra: $EH = EJ$ (2 cạnh tương ứng) (**)

Ta có: $DE = DH + HE$, kết hợp với (*), (**) ta được: $DE = DI + EJ$.

c) Vì $\Delta AHE$ = $\Delta AJE$ (chứng minh trên) nên $\widehat {HAE} = \widehat {JAE}$ (2 góc tương ứng)

Ta có: $\widehat {DAE} = \widehat {DAH} + \widehat {HAE} = \frac{1}{2}\widehat {BAH} + \frac{1}{2}\widehat {HAC} = \frac{1}{2}.\left( {\widehat {BAH} + \widehat {HAC}} \right) = \frac{1}{2}.90^\circ = 45^\circ $.

Vậy $\widehat {DAE} = 45^\circ $.

$Chứng minh $\Delta ADC\,$ cân. (ảnh 3)$

Ta có: $\Delta ADI$ = $\Delta ADH$ (câu b) nên $AI = AH$.

$\Delta AHE$ = $\Delta AJE$ (câu b) nên $AH = AJ$.

Do đó $AI = AJ$.

Xét $\Delta AIJ$ có $\widehat {IAJ} = 90^\circ ;\,\,AI = AJ$ do đó $\Delta AIJ$ vuông cân tại $A$ suy ra $\widehat {AIJ} = 45^\circ $ (3)

Xét $\Delta AIK$ và $\Delta AHK$ có:

$AI = AH$.

$\widehat {IAK} = \widehat {KAH}$.

$AK$ :cạnh chung

Suy ra $\Delta AIK$ = $\Delta AHK$ (c.g.c)

Có $\Delta AIK$ = $\Delta AHK$ (chứng minh trên) nên $\widehat {AIK} = \widehat {AHK}$ (2 góc tương ứng) (4)

Từ (3), (4) ta có $\widehat {AHK} = 45^\circ $.

Do đó: $\widehat {AHK} = \frac{1}{2}\widehat {AHD}$ do đó $HK$ là tia phân giác của $\widehat {AHD}$.

Xét $\Delta AHB$ có: $HK$ là tia phân giác của $\widehat {AHD}$;

$AD$ là tia phân giác của $\widehat {BAH}$;

$AD$ cắt $HK$ tại $D$.

Suy ra \[BK\] là tia phân giác của góc $ABC$ nên $\widehat {ABK} = \widehat {EBK}$.

Do đó \[BK\] là tia phân giác của góc $ABC$.

Câu 2

Cho $\Delta ABC$ nhọn $\left( {AB < AC} \right)$ có đường trung trực của cạnh $AB$ cắt $BC$ tại $D$, trên tia $AD$ lấy điểm $E$ sao cho $AE = BC$.

a) Chứng minh $\Delta ABC = \Delta BAE$.

b) Chứng minh $AB\,\,{\rm{//}}\,\,CE$.

c) Chứng minh trung trực của cạnh $AB,\,BE,\,AC$ cùng đi qua một điểm.

Xem đáp án

Lời giải

$Chứng minh $\Delta ABC = \Delta BAE$. (ảnh 1)$

a) Chứng minh: $\Delta ABC = \Delta BAE$.

Vì $D$ nằm trên đường trung trực của $AB$ nên $DA = DB$.

Suy ra $\Delta DAB$ cân tại $D$.

Suy ra $\widehat {DAB} = \widehat {DBA}$ hay $\widehat {EAB} = \widehat {CBA}$.

Xét $\Delta ABC$ và $\Delta BAE$ có:

$AB$ cạnh chung; $\widehat {EAB} = \widehat {CBA}$ (cmt); $AE = BC$ (giả thiết)

Vậy $\Delta ABC = \Delta BAE$ (c.g.c)

b) Chứng minh $AB\,\parallel \,CE$.

Ta có $AE = BC$ (giả thiết); $DA = DB$ (chứng minh trên)

Suy ra $DA - AE = DB - BC$ nên $DE = DC$.

Do đó $\Delta DEC$ cân tại $D$.

Suy ra $\widehat {DEC} = \widehat {DAB} = \frac{{180^\circ - \widehat {ADB}}}{2}$ hay $\widehat {DEC}$ và $\widehat {DAB}$ ở vị trí đồng vị

Do đó $AB\,\parallel CE$.

c) Trung trực của cạnh $AB,\,BE,\,AC$ cùng đi qua một điểm

Gọi $H$ là giao điểm của trung trực $AB$ và $AC$.

Suy ra $HA = HB = HC$. $\left( 1 \right)$.

Ta có $H$ và $D$ nằm trên trung trực của $AB$ nên $HD \bot AB$.

Mà $AB\parallel CE$ nên $HD \bot CE$.

Mặt khác $\Delta DEC$ cân tại $D$ có $HD \bot CE$.

Suy ra $HD$ là trung trực của $CE$ hay $HE = HC$ $\left( 2 \right)$.

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra $HB = HE$ nên $H$ thuộc trung trực của $BE$.

Vậy trung trực của $AB,\,\,\,BE,\,\,\,AC$ cùng đi qua một điểm $H$.

Câu 3