Một công ty trong một đợt quảng cáo và bán hàng khuyến mại hàng hóa cho một sản phẩm mới của công ty cần thuê xe để chở 140 người và 9 tấn hàng. Nơi thuê chỉ có hai loại xe A và B. Trong đó xe loại A có 10 chiếc, xe loại B có 9 chiếc. Một chiếc xe lại A cho thuê với giá 4 triệu, loại B giá 3 triệu. Biết rằng xe A chỉ chở tối đa 20 người và 0,6 tấn hàng; xe B chở tối đa 10 người và 1,5 tấn hàng. Gọi \(x,y\) lần lượt là số xe loại A và loại B mà công ty thuê.

a) Số tiền thuê xe là \(4x + 3y\).

b) \(2x + y < 14\).

c) \(2x + 5y \ge 30\).

d) Số tiền thuê xe thấp nhất là 32 triệu.

Gọi số xe lớn và số xe nhỏ mà chủ trang trại cần thuê lần lượt là \(x;y\left( {x,y \in \mathbb{N}} \right)\).

Theo đề ta có hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}15x + 12y \ge 120\\5x + 2y \ge 30\\0 \le x \le 9\\0 \le y \le 10\end{array} \right.\)$\iff \left\{\begin{array}{l}5x+4y\ge 40\\ 5x+2y\ge 30\\ 0\le x\le 9\\ 0\le y\le 10\end{array}\right.$

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền trong của ngũ giác ABCDE (kể cả bờ) với \(A\left( {2;10} \right),B\left( {9;10} \right),C\left( {9;0} \right),D\left( {8;0} \right),E\left( {4;5} \right)\).

Theo đề bài ta có biểu thức biểu thị số tiền thuê xe là \(F = 500x + 350y\)(nghìn đồng).

Với A(2; 10) thì F = 4500;

Với B(9; 10) thì F = 8000;

Với C(9; 0) thì F = 4500;

Với D(8; 0) thì F = 4000;

Với E(4; 5) thì F = 3750.

Vậy số tiền thuê thấp nhất để chở 120 con bò sữa và 30 tấn thức ăn cho bò là 3750000 đồng khi thuê 4 xe lớn và 5 xe nhỏ.

Trả lời: 3750.

Miền nghiệm của hệ là miền tam giác ABC với \(A\left( { - 5; - 1} \right);B\left( { - 1; - 2} \right);C\left( {5;4} \right)\).

Ta có \(T = 3x - 2y - 4\) đạt giá trị nhỏ nhất chỉ có thể tại các điểm A, B, C.

Với \(A\left( { - 5; - 1} \right)\) thì T = −17.

Với \(B\left( { - 1; - 2} \right)\) thì T = −3.

Với \(C\left( {5;4} \right)\) thì T = 3.

Vậy T đạt giá trị nhỏ nhất bằng −17 khi \(x = - 5;y = - 1\).

Do đó \({x_0} = - 5;{y_0} = - 1\). Do đó \(x_0^2 + y_0^2 = 26\).

Trả lời: 26.