Cho tam giác \[ABC\] có \[G\] là trọng tâm và \[I\] là trung điểm của \[BC.\] Đẳng thức nào sau đây đúng ?

a) Gọi N là trung điểm của AC.

Theo đề ta có BG = GB' mà G là trọng tâm tam giác ABC. Suy ra N là trung điểm của GB'.

Vì N là trung điểm của AC và GB' nên AGCB' là hình bình hành.

b) Ta có \(\overrightarrow {CB'} = \overrightarrow {GA} = - \overrightarrow {AG} = - \frac{2}{3}\overrightarrow {AM} = - \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \).

c) Có \(\overrightarrow {AB'} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB'} = \overrightarrow {AC} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \).

d) Có \(\overrightarrow {MB'} = \overrightarrow {AB'} - \overrightarrow {AM} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} - \frac{5}{6}\overrightarrow {AB} \).

Đáp án: a) Đúng;   b) Sai;   c) Đúng;   d) Đúng.

a) Vì M là trung điểm AB nên \(\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CA} = 2\overrightarrow {CM} \).

b) Ta có \( - \frac{2}{3}\overrightarrow {CM} - \frac{4}{3}\overrightarrow {BN} \)\( = - \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CA} } \right) - \frac{4}{3}.\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right)\)\( = - \frac{1}{3}\overrightarrow {CB} - \frac{1}{3}\overrightarrow {CA} - \frac{2}{3}\overrightarrow {BA} - \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} \)

\( = \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} \)\( = - \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} \)\( = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BC} } \right) + \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} \)\( = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} } \right) + \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} \)

\( = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AB} \).

c) Ta có \(\frac{4}{3}\overrightarrow {CM} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BN} \)\( = \frac{4}{3}.\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} } \right) + \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right)\)\( = \frac{2}{3}\overrightarrow {CA} + \frac{2}{3}\overrightarrow {CB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} \)

\( = - \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} - \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} \)\( = - \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} \)\( = - \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right)\)\( = - \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} = - \overrightarrow {AC} \).

d) \(\frac{1}{3}\overrightarrow {BN} - \frac{1}{3}\overrightarrow {CM} \)\( = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right) - \frac{1}{3}.\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} } \right)\)\( = \frac{1}{6}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} - \overrightarrow {CA} - \overrightarrow {CB} } \right)\)\( = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {MN} \).

Đáp án: a) Đúng;   b) Đúng;   c) Sai;   d) Đúng.