Gọi\(A\) là giới hạn của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{x + {x^2} + {x^3} + ... + {x^{50}} - 50}}{{x - 1}}\) khi \(x\) tiến đến 1. Tính giá trị của \(A.\)

a) Ta có: Giới hạn\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f(x) = - 4\)

b) Xét dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) bất kì sao cho \({x_n} < - 1\) và \({x_n} \to - 1\), ta có: \(f\left( {{x_n}} \right) = {x_n} - 2\).

Khi đó: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f(x) = \lim f\left( {{x_n}} \right) = - 1 - 2 = - 3\).

c) Xét dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) bất kì sao cho \({x_n} > - 1\) và \({x_n} \to - 1\), ta có: \(f\left( {{x_n}} \right) = \sqrt {x_n^2 + 1} \).

Khi đó: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f(x) = \lim f\left( {{x_n}} \right) = \sqrt {{{( - 1)}^2} + 1} = \sqrt 2 \).

d) Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f(x) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f(x)\) (hay \( - 3 \ne \sqrt 2 \) ) nên không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} f(x)\).

Rõ ràng \({(x - 1)^2} > 0,{(x - 1)^2} \to 0\) khi \(x \to 1\). Theo quy tắc giới hạn vô cực (của thương hai hàm số), ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f(x)}}{{{{(x - 1)}^2}}} = + \infty \).