Có bao nhiêu số tự nhiên \(n\) để \(\left( {n + 4} \right)\,\, \vdots \,\,n\)?

Đáp án: \(0\)

Vì \(15\,\, \vdots \,\,3\) nên \(\left( {13 \cdot 14 \cdot 15} \right)\,\, \vdots \,\,3.\)

Ta có: \(13 \cdot 14 \cdot 15 = 13 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 15 = 13 \cdot 7 \cdot 30.\) Vì \(30\,\, \vdots \,\,10\) nên \(\left( {13 \cdot 7 \cdot 30} \right)\,\, \vdots \,\,10\) hay \(\left( {13 \cdot 14 \cdot 15} \right)\,\, \vdots \,\,10.\)

Do đó, \(13 \cdot 14 \cdot 15\)vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 10.

Để \(P = 13 \cdot 14 \cdot 15 + a\) vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 10 thì \(a\) chia hết cho 10.

Mà \(a\) là số tự nhiên nhỏ hơn 10 nên \(a = 0.\) Vậy \(a = 0.\)

Đáp án: \(1\)

Ta có: \(n + 7 = n + 2 + 5.\)

Để \(n + 7\) chia hết cho \(n + 2\) thì 5 chia hết cho \(n + 2.\)

Do đó, \(\left( {n + 2} \right) \in \)Ư\(\left( 5 \right) = \left\{ {1;\;{\rm{ }}5} \right\}.\)

Vì \(n \ge 0\) nên \(n + 2 \ge 2.\) Do đó, \(n + 2 = 5\) nên \(n = 3.\)

Vậy có một số tự nhiên \(n\) sao cho \(n + 7\) chia hết cho \(n + 2.\)