Cho các số tự nhiên \(p;\,\,p + 2;\,\,p + 4\). Khi đó,

          a) \(p + 2;\,\,p + 4\) là các số nguyên tố khi \(p = 2.\)

          b) \(p = 3\) thì \(p + 2;\,\,p + 4\) là hợp số.

          c) Với \(p = 3k + 1{\rm{ }}\left( {k \in {\mathbb{N}^*}} \right)\) thì \(p + 2\) là hợp số.

          d) Chỉ có duy nhấ một số nguyên tố \(p\) thỏa mãn để \(p + 2;\,\,p + 4\) là các số nguyên tố.

a) Sai.

Với \(p = 2\) thì \(p + 2 = 2 + 2 = 4\) và \(p + 4 = 2 + 4 = 6\).

Do đó, \(p = 2\) thì \(p + 2;\,\,p + 4\) là các hợp số.

b) Sai.

Với \(p = 3\) thì \(p + 2 = 2 + 3 = 5\) và \(p + 4 = 3 + 4 = 7\).

Do đó, \(p = 3\) thì \(p + 2;\,\,p + 4\) là các số nguyên tố.

c) Đúng.

Với \(p = 3k + 1{\rm{ }}\left( {k \in {\mathbb{N}^*}} \right)\) thì \(p + 2 = 3k + 3 = 3\left( {k + 1} \right)\).

Do đó \(\left( {p + 2} \right) \vdots 3\), mà \[p + 2 > 3{\rm{ }}\left( {{\rm{do }}k \in {\mathbb{N}^*}} \right)\] nên với \(p = 3k + 1{\rm{ }}\left( {k \in {\mathbb{N}^*}} \right)\) thì \(p + 2\) là hợp số.

d) Đúng

Với \(p = 3k + 2{\rm{ }}\left( {k \in {\mathbb{N}^*}} \right)\) thì \(p + 4 = 3k + 6 = 3\left( {k + 2} \right)\).

Do đó, \(\left( {p + 4} \right) \vdots 3\), mà \[p + 4 > 3{\rm{ }}\left( {{\rm{do }}k \in {\mathbb{N}^*}} \right)\] nên với \(p = 3k + 2{\rm{ }}\left( {k \in {\mathbb{N}^*}} \right)\) thì \(p + 4\) là hợp số.

Từ phần b), c), d) suy ra chỉ vó giá trị \(p = 3\) thỏa mãn để \(p + 2;\,\,p + 4\) là các số nguyên tố.