Câu hỏi:

09/10/2025 15 Lưu

Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm là sản phẩm loại I và sản phẩm loại II:

- Mỗi kg sản phẩm loại I cần \(2\;kg\) nguyên liệu và 30 giờ, thu lời được 40 nghìn.

- Mỗi kg sản phẩm loại II cần 4 kg nguyên liệu và 15 giờ, thu lời được 30 nghìn. Xưởng có 200 kg nguyên liệu và 1200 giờ làm việc tối đa. Nên sản xuất mỗi loại sản phẩm bao nhiêu đề có mức lời cao nhất?

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

Gọi \(x,y\) lần lượt là số kg sản phẩm loại I và loại II mà xưởng sản xuất được.

Tổng nguyên liệu được dùng là \(2x + 4y(\;kg)\); tổng thời gian sản xuất là \(30x + \) \(15y\) (giờ); .

Ta có hệ bất phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 4y \le 200\\30x + 15y \le 1200\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2y \le 100\\2x + y \le 80\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.\)

Vẽ trên cùng hệ trục các đường thẳng \({d_1}:x + 2y = 100,\,{d_2}:2x + y = 80,\,{d_3}:y = 0,\,{d_4}:x = 0\)

Ta có điểm \(M\left( {1;1} \right)\) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình vì khi thay tọa độ điểm này vào hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}1 + 2.1 \le 100\\2.1 + 1 \le 80\\1 \ge 0\\1 \ge 0\end{array} \right.\)(đúng)

Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm là sản phẩm loại I và sản phẩm loại II:  - Mỗi kg sản phẩm loại I cần 2 kg nguyên liệu và 30 giờ, thu lời được 40 nghìn. (ảnh 1)

Gạch bỏ các phần không thuộc miền nghiệm của mỗi bất phương trình trong hệ (nửa mặt phẳng có bờ là các đường thẳng \({d_1},{d_2},{d_3},{d_4}\) và không chứa điểm \(M\) ). Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình chính là miền của tứ giác \(OABC\) (kể cả các cạnh của tứ giác đó) với \(O(0;0),A(0;50),B(20;40),C(40;0)\).

Lãi thu về từ việc sản xuất hai sản phẩm: \(F(x;y) = 40x + 30y\) (nghìn đồng).

Tại \(O(0;0)\), ta có \(F(0;0) = 0\); tại \(A(0;50)\), ta có \(F(0;50) = 1500\); tại \(B(20;40)\), ta có \(F(20;40) = 2000\); tại \(C(40;0)\), ta có \(F(40;0) = 1600\).

Vậy lãi suất cao nhất thu được bằng 2000000 đồng, khi đó \(x = 20,y = 40\) (tức là xưởng cần sản xuất ra 20 sản phẩm loại \(I\) và 40 sản phẩm loại II).

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Gọi \(x,y\) (chiếc) là số lượng bánh nướng, bánh dẻo mà xí nghiệp cần sản xuất. Trong đó \(0 < x,0 < y\) với \(x,y \in {\mathbb{N}^*}\).

Khối lượng bột mỳ cần dùng là: \(0,12x + 0,16y(\;kg)\).

Khối lượng đường cần dùng là: \(0,06x + 0,04y(\;kg)\).

Ta có: \(0,12x + 0,16y \le 600\) hay \(3x + 4y \le 15000\);

\(0,06x + 0,04y \le 240\) hay \(3x + 2y \le 12000\).

Số tiền lãi thu được là: \(T = 8x + 6y\) (nghìn đồng). Bài toán đưa về, tìm \(x,y\) là nghiệm của hệ bất phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 4y \le 15000\\3x + 2y \le 1200\\y \le 3x\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.\left( V \right)\) để \(T = 8x + 6y\) đạt giá trị lớn nhất.

Trước hết, ta biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình (V).

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác \(OABC\) với \(O\left( {0;0} \right),\,A\left( {4000;0} \right),B\left( {3000;1500} \right),\,C\left( {1000;3000} \right)\)

Nhân dịp tết Trung thu, xí nghiệp sản xuất bánh muốn sản xuất hai loại bánh: bánh nướng và bánh dẻo. Để sản xuất hai loại bánh này, xí nghiệp cần: đường, bột mì, trứng, mứt bí, lạp xưởng,... (ảnh 1)

Tính giá trị của \(T\) tại các cặp số \((x;y)\) là toạ độ các đỉnh trên rồi so sánh các giá trị đó, ta được \(T\) đạt giá trị lớn nhất bằng 33000 (nghìn đồng) hay 33 triệu đồng tại \(x = 3000;y = 1500\).

Vậy để đạt được tiền lãi cao nhất, xí nghiệp nên sản xuất 3000 chiếc bánh nướng và \(1.500\) chiếc bánh dẻo.

Lời giải

Miền nghiệm của hệ bất phương trình (II) là miền tam giác \(ABC\) với \(A(4;1)\), \(B(8;3),C(2;3)\) (Hình).

Cho hệ bất phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}x + y \ge 5\\x - 2y \le 2\\{\rm{ }}y \le 3.\end{array}\end{array}} \right.\left( {II} \right)\). Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để bất phương trình \(2x - 5y  (ảnh 1)

Ta có: \(2x - 5y + m \ge 0 \Leftrightarrow m \ge  - 2x + 5y\).

Đặt \(F =  - 2x + 5y\). Tính giá trị của \(F =  - 2x + 5y\) tại các cặp số \((x;y)\) là toạ độ của các đỉnh tam giác \(ABC\) rồi so sánh các giá trị đó, ta được \(F\) đạt giá trị lớn nhất bằng 11 tại \(x = 2,y = 3\).

Để bất phương trình \(2x - 5y + m \ge 0\) nghiệm đúng với mọi \(x,y\) thoả mãn hệ bất phương trình đã cho thì \(m \ge {\mathop{\rm Max}\nolimits} F\) trên miền nghiệm của hệ bất phương trình đó hay \(m \ge 11\).

Câu 7

A. \(\left( {2\,;\,\,3} \right)\).                        
B. \(\left( { - 2\,;\,\,1} \right)\).        
C. \(\left( {2\,;\,\, - 1} \right)\).                         
D. \(\left( {0\,;\,\,0} \right)\).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP