Bạn An đang nằm nghe nhạc trong phòng hình hộp chữ nhật, sàn nhà là hình vuông cạnh bằng 4 m, chiều cao của phòng là 3,2 m và phát hiện ra hai con nhện đang chăng tơ trong căn phòng của An, hai con nhện luôn di chuyển trên hai đường thẳng khác nhau. Giả sử căn phòng được mô hình hóa là hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) với \(ABCD\) là nền phòng của An thì con nhện thứ nhất được coi như điểm \(E\)di chuyển trên đường dây tơ nối từ đỉnh \(A\) đến trung điểm \(M\) của \(CC'\), còn con nhện thứ hai được coi như điểm \(F\) di chuyển trên đường dây tơ nối từ \(D'\) đến tâm \(I\) của mặt \(ABB'A'\). Tính khoảng cách giữa hai con nhện khi đường thẳng đi qua hai con nhện vuông góc với trần nhà (đơn vị mét).

a) Ta có \(G\left( {\frac{{1 - 2 + 3}}{3};\frac{{ - 1 + 5 + 4}}{3};\frac{{0 + 3 + 9}}{3}} \right)\)\( \Rightarrow G\left( {\frac{2}{3};\frac{8}{3};4} \right)\).

b) \(M \in \left( {Oxz} \right) \Rightarrow M\left( {a;0;c} \right)\).

Có \(\overrightarrow {AM} = \left( {a - 1;1;c} \right),\overrightarrow {AB} = \left( { - 3;6;3} \right)\)

Theo đề ta có \(\overrightarrow {AM} \) và \(\overrightarrow {AB} \) cùng phương \( \Rightarrow \frac{{a - 1}}{{ - 3}} = \frac{1}{6} = \frac{c}{3}\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{2}\\c = \frac{1}{2}\end{array} \right.\).

Do đó \(a + b + c = \frac{1}{2} + 0 + \frac{1}{2} = 1\).

c) \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 3;6;3} \right)\).

d) Giả sử \(D\left( {x;y;z} \right)\). Ta có \(\overrightarrow {DC} = \left( {3 - x;4 - y;9 - z} \right)\).

Để \(ABCD\) là hình bình hành thì \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 - x = - 3\\4 - y = 6\\9 - z = 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y = - 2\\z = 6\end{array} \right. \Rightarrow D\left( {6; - 2;6} \right)\).

Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

Điều kiện \(0 < x < 50\).

Cạnh đáy của lăng trụ lục giác đều \(AB = HK = 100 - 2x\).

Chiều cao của lăng trụ lục giác đều \(HA = MH.\tan 60^\circ = x\sqrt 3 \).

Diện tích đáy của hình lăng trụ lục giác đều \({S_{ABCDEF}} = 6{S_{ABO}} = 6.\frac{{\sqrt 3 }}{4}{\left( {100 - 2x} \right)^2}\).

Thể tích của khối lăng trụ lục giác đều: \(V\left( x \right) = HA.{S_{ABCDEF}} = \frac{9}{2}x{\left( {100 - 2x} \right)^2}\).

Ta có \(V\left( x \right) = 18{x^3} - 1800{x^2} + 45000x\).

Xét hàm số \(V\left( x \right) = 18{x^3} - 1800{x^2} + 45000x\) trên khoảng \(\left( {0;50} \right)\).

Ta có \(V'\left( x \right) = 54{x^2} - 3600x + 45000 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{50}}{3}\\x = 50\end{array} \right.\).

Vì \(x \in \left( {0;50} \right)\) nên \(x = \frac{{50}}{3}\).

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có thể tích của khối lăng trụ lục giác đều lớn nhất khi và chỉ khi \(x = \frac{{50}}{3}\)cm.