Cho $a$ và $b$ là hai số nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng $5a + 2b$ và $7a + 3b$ cũng là hai số nguyên tố cùng nhau.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề cương ôn tập cuối kì 1 Toán 6 Cánh diều cấu trúc mới có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Gọi ƯCLN$\left( {5a + 2b,\,\,7a + 3b} \right) = d\,\,\left( {d \in {\mathbb{N}^*}} \right),$ suy ra $\left( {5a + 2b} \right)\,\, \vdots \,\,d$ và $\left( {7a + 3b} \right)\,\, \vdots \,\,d$.

⦁ Từ $\left( {5a + 2b} \right)\,\, \vdots \,\,d$ ta có $3\left( {5a + 2b} \right)\,\, \vdots \,\,d$ hay $\left( {15a + 6b} \right)\,\, \vdots \,\,d$

Từ $\left( {7a + 3b} \right)\,\, \vdots \,\,d$ ta có $2\left( {7a + 3b} \right)\,\, \vdots \,\,d$ hay $\left( {14a + 6b} \right)\,\, \vdots \,\,d$

Do đó $\left[ {\left( {15a + 6b} \right) - \left( {14a + 6b} \right)} \right]\,\, \vdots \,\,d$ hay $a\,\, \vdots \,\,d$ (1).

⦁ Từ $\left( {5a + 2b} \right)\,\, \vdots \,\,d$ ta có $7\left( {5a + 2b} \right)\,\, \vdots \,\,d$ hay $\left( {35a + 14b} \right)\,\, \vdots \,\,d$

Từ $\left( {7a + 3b} \right)\,\, \vdots \,\,d$ ta có $5\left( {7a + 3b} \right)\,\, \vdots \,\,d$ hay $\left( {35a + 15b} \right)\,\, \vdots \,\,d$

Do đó $\left[ {\left( {35a + 15b} \right) - \left( {35a + 14b} \right)} \right]\,\, \vdots \,\,d$ hay $b\,\, \vdots \,\,d$ (2).

⦁ Từ (1) và (2) suy ra $d = $ƯC$\left( {a,\,\,b} \right)$.

Mà $a$ và $b$ là hai số nguyên tố cùng nhau nên ƯCLN$\left( {a,\,\,b} \right) = 1.$ Do đó $d = 1.$

Vậy $5a + 2b$ và $7a + 3b$ là hai số nguyên số cùng nhau.

Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tìm số nguyên $n$ sao cho:

b) $\left( {n + 3} \right)\,\, \vdots \,\,\left( {n - 2} \right)$.

Xem đáp án

Lời giải

b) Vì $n \in \mathbb{Z}$ nên $\left( {n - 2} \right)\,\, \vdots \,\,\left( {n - 2} \right)$.

Mà $\left( {n + 3} \right)\,\, \vdots \,\,\left( {n - 2} \right)$ nên \[\left[ {\left( {n + 3} \right) - \left( {n + 2} \right)} \right]\,\, \vdots \,\,\left( {n - 2} \right)\] hay \[1\,\, \vdots \,\,\left( {n - 2} \right)\].

Do đó $\left( {n - 2} \right) \in $Ư$\left( 1 \right) = \left\{ {1;\,\, - 1} \right\}.$

⦁ Với $n - 2 = 1,$ suy ra $n = 3$ (thỏa mãn);

⦁ Với $n - 2 = - 1,$ suy ra $n = 1$ (thỏa mãn).

Vậy $n \in \left\{ {3;\,\,1} \right\}.$

Câu 2

Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi là $76\,\,{\rm{m}}$ được chia thành 9 hình chữ nhật nhỏ có các chiều dài bằng nhau và các chiều rộng bằng nhau.

$Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi là $76\,\,{\rm{m}}$ được chia thành 9 hình chữ nhật nhỏ có các chiều dài bằng nhau và các chiều rộng bằng nhau. Tính diện tích của mảnh vườn ban đầu. (ảnh 1)$

Tính diện tích của mảnh vườn ban đầu.

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

Gọi chiều rộng hình chữ nhật nhỏ là $b$, chiều dài hình chữ nhật nhỏ là $a\,\,\left( {x,b > 0,\,\,{\rm{m}}} \right)$.

Chu vi của khu vườn hình chữ nhật là $\left( {2a + a + 2b} \right) \cdot 2 = 76$

Hay $6a + 4b = 76$ (1)

Ta có $2a = 5b$ nên $6a = 15b$ (2)

Thay (2) vào (1) ta được $15b + 4b = 76$ hay $19b = 76$ nên $b = 76:19$ suy ra $b = 4.$

Suy ra $a = 10\,\,\left( {\rm{m}} \right)$.

Suy ra chiều dài ban đầu của khu vườn là $2 \cdot 10 = 20{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)$.

Chiều rộng ban đầu của khu vườn là: $a + 2b = 10 + 2 \cdot 4 = 18{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)$.

Diện tích ban đầu của khu vườn là: $20 \cdot 18 = 360{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)$.

Vậy diện tích khu vườn ban đầu là $360{\rm{ }}{{\rm{m}}^2}.$

Câu 3