Câu hỏi:

26/10/2025 264

Cho $a$ và $b$ là hai số nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng $5a + 2b$ và $7a + 3b$ cũng là hai số nguyên tố cùng nhau.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề cương ôn tập cuối kì 1 Toán 6 Cánh diều cấu trúc mới có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Gọi ƯCLN$\left( {5a + 2b,\,\,7a + 3b} \right) = d\,\,\left( {d \in {\mathbb{N}^*}} \right),$ suy ra $\left( {5a + 2b} \right)\,\, \vdots \,\,d$ và $\left( {7a + 3b} \right)\,\, \vdots \,\,d$.

⦁ Từ $\left( {5a + 2b} \right)\,\, \vdots \,\,d$ ta có $3\left( {5a + 2b} \right)\,\, \vdots \,\,d$ hay $\left( {15a + 6b} \right)\,\, \vdots \,\,d$

Từ $\left( {7a + 3b} \right)\,\, \vdots \,\,d$ ta có $2\left( {7a + 3b} \right)\,\, \vdots \,\,d$ hay $\left( {14a + 6b} \right)\,\, \vdots \,\,d$

Do đó $\left[ {\left( {15a + 6b} \right) - \left( {14a + 6b} \right)} \right]\,\, \vdots \,\,d$ hay $a\,\, \vdots \,\,d$ (1).

⦁ Từ $\left( {5a + 2b} \right)\,\, \vdots \,\,d$ ta có $7\left( {5a + 2b} \right)\,\, \vdots \,\,d$ hay $\left( {35a + 14b} \right)\,\, \vdots \,\,d$

Từ $\left( {7a + 3b} \right)\,\, \vdots \,\,d$ ta có $5\left( {7a + 3b} \right)\,\, \vdots \,\,d$ hay $\left( {35a + 15b} \right)\,\, \vdots \,\,d$

Do đó $\left[ {\left( {35a + 15b} \right) - \left( {35a + 14b} \right)} \right]\,\, \vdots \,\,d$ hay $b\,\, \vdots \,\,d$ (2).

⦁ Từ (1) và (2) suy ra $d = $ƯC$\left( {a,\,\,b} \right)$.

Mà $a$ và $b$ là hai số nguyên tố cùng nhau nên ƯCLN$\left( {a,\,\,b} \right) = 1.$ Do đó $d = 1.$

Vậy $5a + 2b$ và $7a + 3b$ là hai số nguyên số cùng nhau.

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi cuối kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi là $76\,\,{\rm{m}}$ được chia thành 9 hình chữ nhật nhỏ có các chiều dài bằng nhau và các chiều rộng bằng nhau.

$Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi là $76\,\,{\rm{m}}$ được chia thành 9 hình chữ nhật nhỏ có các chiều dài bằng nhau và các chiều rộng bằng nhau. Tính diện tích của mảnh vườn ban đầu. (ảnh 1)$

Tính diện tích của mảnh vườn ban đầu.

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

Gọi chiều rộng hình chữ nhật nhỏ là $b$, chiều dài hình chữ nhật nhỏ là $a\,\,\left( {x,b > 0,\,\,{\rm{m}}} \right)$.

Chu vi của khu vườn hình chữ nhật là $\left( {2a + a + 2b} \right) \cdot 2 = 76$

Hay $6a + 4b = 76$ (1)

Ta có $2a = 5b$ nên $6a = 15b$ (2)

Thay (2) vào (1) ta được $15b + 4b = 76$ hay $19b = 76$ nên $b = 76:19$ suy ra $b = 4.$

Suy ra $a = 10\,\,\left( {\rm{m}} \right)$.

Suy ra chiều dài ban đầu của khu vườn là $2 \cdot 10 = 20{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)$.

Chiều rộng ban đầu của khu vườn là: $a + 2b = 10 + 2 \cdot 4 = 18{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)$.

Diện tích ban đầu của khu vườn là: $20 \cdot 18 = 360{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)$.

Vậy diện tích khu vườn ban đầu là $360{\rm{ }}{{\rm{m}}^2}.$

Câu 2

Tính nhanh giá trị các biểu thức sau:

f) $F = {1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {99^2} + {100^2}.$

Xem đáp án

Lời giải

f) $F = {1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {99^2} + {100^2}$

$ = 1 \cdot \left( {2 - 1} \right) + 2 \cdot \left( {3 - 1} \right) + 3 \cdot \left( {4 - 1} \right) + ... + 99 \cdot \left( {100 - 1} \right) + 100 \cdot \left( {101 - 1} \right)$

\[ = 1 \cdot 2 - 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 - 2 \cdot 1 + 3 \cdot 4 - 3 \cdot 1 + ... + 99 \cdot 100 - 99 \cdot 1 + 100 \cdot 101 - 100 \cdot 1\]

\[ = 1 \cdot 2 - 1 + 2 \cdot 3 - 2 + 3 \cdot 4 - 3 + ... + 99 \cdot 100 - 99 + 100 \cdot 101 - 100\]

\[ = \left( {1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 - 3 + ... + 99 \cdot 100 + 100 \cdot 101} \right) - \left( {1 + 2 + ... + 99 + 100} \right)\]

\[ = \frac{{100 \cdot 101 \cdot 102}}{3} - \frac{{100 \cdot \left( {100 + 1} \right)}}{2}\] (tương tự câu d)

\[ = \frac{{100 \cdot 101 \cdot 102}}{3} - \frac{{100 \cdot 101}}{2}\]

\[ = \frac{{100 \cdot 101 \cdot 102 \cdot 2 - 100 \cdot 101 \cdot 3}}{6}\]

$ = \frac{{100 \cdot 101 \cdot 201}}{6} = 338\,\,350.$

Câu 3