Tính nhanh giá trị các biểu thức sau:

f) \(F = {1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {99^2} + {100^2}.\)

Hướng dẫn giải

Gọi chiều rộng hình chữ nhật nhỏ là \(b\), chiều dài hình chữ nhật nhỏ là \(a\,\,\left( {x,b > 0,\,\,{\rm{m}}} \right)\).

Chu vi của khu vườn hình chữ nhật là \(\left( {2a + a + 2b} \right) \cdot 2 = 76\)

Hay \(6a + 4b = 76\) (1)

Ta có \(2a = 5b\) nên \(6a = 15b\) (2)

Thay (2) vào (1) ta được \(15b + 4b = 76\) hay \(19b = 76\) nên \(b = 76:19\) suy ra \(b = 4.\)

Suy ra \(a = 10\,\,\left( {\rm{m}} \right)\).

Suy ra chiều dài ban đầu của khu vườn là \(2 \cdot 10 = 20{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\).

Chiều rộng ban đầu của khu vườn là: \(a + 2b = 10 + 2 \cdot 4 = 18{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\).

Diện tích ban đầu của khu vườn là: \(20 \cdot 18 = 360{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Vậy diện tích khu vườn ban đầu là \(360{\rm{ }}{{\rm{m}}^2}.\)

Hướng dẫn giải

Vì robot được lập trình cứ tiến 6 bước thì lùi 2 bước nên mỗi lượt thực hiện một lập trình, robot đi được quãng đường là: \(6 \cdot 5 - 2 \cdot 5 = 20{\rm{\;dm}}{\rm{.}}\)

Như vậy, mỗi lần thực hiện một lập trình robot đi được quãng đường \(20{\rm{\;dm}}\) và bước tổng \(6 + 2 = 8\) bước.

Ta có: \(126:8 = 15\) dư 6.

Do đó để đến B thì robot đã thực hiện 15 lập trình và bước thêm 6 bước.

Khi đó, quãng đường robot đi được là: \(15 \cdot 20 + 6 \cdot 5 = 330{\rm{\;(dm)}}{\rm{.}}\)

Vậy khoảng cách từ A đến B dài 330 dm.