Một người bán năm giỏ xoài và cam. Mỗi giỏ chỉ đựng một loại quả với số lượng là \[65{\rm{\;kg,}}\,\,71{\rm{\;kg}},\,\,58{\rm{\;kg}},\,\,72{\rm{\;kg}},\,\,93{\rm{\;kg}}.\] Sau khi bán một giỏ cam thì số lượng xoài gấp ba lần số lượng cam còn lại. Hãy cho biết giỏ nào đựng cam và giỏ nào đựng xoài.

b) Vì \(n \in \mathbb{Z}\) nên \(\left( {n - 2} \right)\,\, \vdots \,\,\left( {n - 2} \right)\).

Mà \(\left( {n + 3} \right)\,\, \vdots \,\,\left( {n - 2} \right)\) nên \[\left[ {\left( {n + 3} \right) - \left( {n + 2} \right)} \right]\,\, \vdots \,\,\left( {n - 2} \right)\] hay \[1\,\, \vdots \,\,\left( {n - 2} \right)\].

Do đó \(\left( {n - 2} \right) \in \)Ư\(\left( 1 \right) = \left\{ {1;\,\, - 1} \right\}.\)

⦁ Với \(n - 2 = 1,\) suy ra \(n = 3\) (thỏa mãn);

⦁ Với \(n - 2 = - 1,\) suy ra \(n = 1\) (thỏa mãn).

Vậy \(n \in \left\{ {3;\,\,1} \right\}.\)

f) \(F = {1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {99^2} + {100^2}\)

\( = 1 \cdot \left( {2 - 1} \right) + 2 \cdot \left( {3 - 1} \right) + 3 \cdot \left( {4 - 1} \right) + ... + 99 \cdot \left( {100 - 1} \right) + 100 \cdot \left( {101 - 1} \right)\)

\[ = 1 \cdot 2 - 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 - 2 \cdot 1 + 3 \cdot 4 - 3 \cdot 1 + ... + 99 \cdot 100 - 99 \cdot 1 + 100 \cdot 101 - 100 \cdot 1\]

\[ = 1 \cdot 2 - 1 + 2 \cdot 3 - 2 + 3 \cdot 4 - 3 + ... + 99 \cdot 100 - 99 + 100 \cdot 101 - 100\]

\[ = \left( {1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 - 3 + ... + 99 \cdot 100 + 100 \cdot 101} \right) - \left( {1 + 2 + ... + 99 + 100} \right)\]

\[ = \frac{{100 \cdot 101 \cdot 102}}{3} - \frac{{100 \cdot \left( {100 + 1} \right)}}{2}\]                   (tương tự câu d)

\[ = \frac{{100 \cdot 101 \cdot 102}}{3} - \frac{{100 \cdot 101}}{2}\]

\[ = \frac{{100 \cdot 101 \cdot 102 \cdot 2 - 100 \cdot 101 \cdot 3}}{6}\]

\( = \frac{{100 \cdot 101 \cdot 201}}{6} = 338\,\,350.\)