Cho hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) như hình vẽ:

Biết rằng \(AB = 12\;{\rm{cm,}}\;\,SI = \frac{4}{3}AB.\) Khi đó:

( a) \(O\) là trọng tâm của tam giác \(ABC.\)

(b) \(I\) là trung điểm của \(BC.\)

(c) \(SI\) là trung đoạn của hình chóp \(S.ABC.\)

(d) Diện tích xung quanh của hình chóp \(S.ABC\) bằng \(144\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}.\)

a) Đúng.

Mặt đáy của hình chóp \(S.ABC\) là một tam giác đều \(ABC\) có cạnh \(60{\rm{ cm}}{\rm{.}}\) Gọi đường cao của mặt đáy là \(CH\), ta có \(CH\) đồng thời là đường trung tuyến.

\(HA = HB = \frac{{AB}}{2} = 30{\rm{ cm}}{\rm{.}}\)

b) Đúng.

Xét tam giác \(BHC\) vuông tại \(H\). Theo định lý Pythagore ta có: \(C{B^2} = H{B^2} + H{C^2}\) hay \({60^2} = {30^2} + H{C^2}\) suy ra \(C{H^2} = {60^2} - {30^2} = 2{\rm{ }}700\) nên \(CH = \sqrt {2700} = 30\sqrt 3 {\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)\).

c) Sai.

Vì \(G\) là trọng tâm của mặt đáy nên \(GH = \frac{1}{3}HC = \frac{{30\sqrt 3 }}{3} = 10\sqrt 3 {\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)\).

Hình chóp \(S.ABC\) có đường cao \(SG\) nên \(SG \bot HC.\)

Xét tam giác \(SHG\) vuông tại \(G\). Theo định lý Pythagore, ta có:

\(S{H^2} = S{G^2} + H{G^2}\)

\(S{H^2} = {90^2} + {30^2} = 9000\)

Suy ra \(SH = \sqrt {9000} = 30\sqrt {10} {\rm{ cm}}{\rm{.}}\)

d) Đúng.

Nửa chu vi đáy là: \(P = \frac{1}{2}\left( {60 + 60 + 60} \right) = 90{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)\)

Vậy diện tích xung quanh của hình chóp là \(S = P.d = 90.30\sqrt {10} \approx 8538{\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).

a) Đúng.

Phần dưới của khối bê tông có dạng hình hộp chữ nhật, đáy là hình vuông có cạnh \(4{\rm{ dm,}}\) chiều cao \({\rm{2,5 dm}}{\rm{.}}\)

Do đó, thể tích của khối bê tông này là: \({V_1} = S.h = {4^2}.2,5 = 40{\rm{ }}\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\)

b) Đúng.

Phần trên của khối bê tông có dạng hình chóp tứ giác đều có độ dài cạnh của mặt đáy là \(4{\rm{ dm,}}\) chiều cao là \({\rm{10 dm}}{\rm{.}}\)

Do đóm thể tích của khối bê tông hình chóp này là: \({V_2} = \frac{1}{3}S.h = \frac{1}{3}{.4^2}.10 = \frac{{160}}{3}{\rm{ }}\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\).

c) Đúng.

Tỉ lệ thể tích khối bê tông dạng hình hộp chữ nhật so với khối bê tông hình chóp là

\(40:\frac{{160}}{3} = \frac{3}{4}\).

d) Sai.

Vậy thể tích của khối bê tông trên gồm hai khối là khối hình hộp chữ nhật và khối hình chóp tứ giác đều.

Vậy thể tích của khối bê tông này là: \(40 + \frac{{160}}{3} = \frac{{280}}{3} \approx 93,3{\rm{ }}\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\).