Với giá trị nào của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + m\) có hai điểm cực trị \(A\), \(B\) thỏa mãn \(OA = OB\) (\(O\) là gốc tọa độ)?

Ta có bảng sau

Ta có chiều cao trung bình:

\[\overline x = \frac{1}{{500}}\left( {152.25 + 156.50 + 160.200 + 164.175 + 168.50} \right) = 161,4\].

Phương sai của mẫu số liệu:

\[{s^2} = \frac{1}{{500}}\left[ \begin{array}{l}25{\left( {152 - 161,4} \right)^2} + 50{\left( {156 - 161,4} \right)^2} + 200{\left( {160 - 161,4} \right)^2}\\ + 175{\left( {164 - 161,4} \right)^2} + 50{\left( {168 - 161,4} \right)^2}\end{array} \right] = 14,84\]

\( \Rightarrow \) Độ lệch chuẩn: \[s = \sqrt {{s^2}} = \sqrt {14,48} \approx 3,85\]. Chọn D.

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: \[R = 120 - 70 = 50.\]

b) Số phần tử của mẫu là \[n = 30\].

Có \(\frac{n}{4} = 7,5\). Nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 7,5 nên nhóm này chứa tứ phân vị thứ nhất.

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ nhất là: \[{Q_1} = 80 + \left( {\frac{{7,5 - 3}}{6}} \right).10 = 87,5\left( {{\rm{gam}}} \right)\].

Có \(\frac{{3n}}{4} = 22,5\). Nhóm 4 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 22,5 nên nhóm này chứa tứ phân vị thứ ba.

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ ba là: \[{Q_3} = 100 + \left( {\frac{{22,5 - 21}}{6}} \right).10 = 102,5\left( {{\rm{gam}}} \right)\].

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: \[\Delta Q = {Q_3} - {Q_1} = 102,5 - 87,5 = 15\].

c) Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm

\[\overline x = \frac{{3.75 + 6.85 + 12.95 + 6.105 + 3.115}}{{30}} = 95\left( {{\rm{gam}}} \right)\].

d) Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\[{s^2} = \frac{1}{{30}}\left[ {3.{{\left( {75 - 95} \right)}^2} + 6.{{\left( {85 - 95} \right)}^2} + 12.{{\left( {95 - 95} \right)}^2} + 6.{{\left( {105 - 95} \right)}^2} + 3.{{\left( {115 - 95} \right)}^2}} \right] = 120\].

Đáp án: a) Đúng;    b) Sai;   c) Sai;   c) Đúng.