Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm \(M\left( { - 4;3; - 1} \right)\) và \(N\left( {2; - 1; - 3} \right)\).

a) \(\overrightarrow {OM} = \left( { - 4;3; - 1} \right)\).

b) Cho \(\overrightarrow v = \overrightarrow i + 2\overrightarrow j - 3\overrightarrow k \) và \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow v \). Khi đó \(A\left( {5;1;2} \right)\).

c) Gọi G là trọng tâm của DOMN. Tọa độ hình chiếu của \(G\) trên \(\left( {Oxy} \right)\) là \(\left( {0;0; - \frac{4}{3}} \right)\).

d) I là trung điểm của đoạn MN. Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow w = 3\overrightarrow i + 2\overrightarrow {ON} - \frac{1}{2}\overrightarrow {OI} \) là \(\left( {\frac{9}{2}; - \frac{5}{2}; - 7} \right)\).

a) Vì nền nhà là hình chữ nhật nên tứ giác \(OABC\) là hình chữ nhật, suy ra \({x_A} = {x_B} = 4\), \({y_C} = {y_B} = 5.\)

Do \(A\) nằm trên trục \(Ox\) nên tọa độ điểm \(A\) là \((4;0;0)\). Tường nhà là hình chữ nhật nên tứ giác \(OCHE\) là hình chữ nhật, suy ra \({y_H} = {y_C} = 5\), \({z_H} = {z_E} = 3\).

Do \(H\) nằm trên mặt phẳng \((Oyz)\) nên tọa độ điểm \(H\) là \((0;5;3)\).

Tứ giác \(OAFE\) là hình chữ nhật nên \({x_F} = {x_A} = 4;{z_F} = {z_E} = 3\).

Do \(F\) nằm trên mặt phẳng \((Ozx)\) nên tọa độ điểm \(F\) là \((4;0;3)\).

b) Nên \(\overrightarrow {AH} = \left( { - 4;5;3} \right)\) và \(\overrightarrow {AF} = (0;0;3)\).

c) Suy ra \(\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {AF} = 0 + 0 + 9 = 9\).

d) Để tính góc dốc của mái nhà, ta đi tính số đo của góc nhị diện có cạnh là đường thẳng \(FG\), hai mặt lần lượt là \((FGQP)\) và \((FGHE)\).

Do mặt phẳng \((Ozx)\) vuông góc với hai mặt phẳng \((FGQP)\) và (\(FGHE)\) nên góc \(PFE\) là góc phẳng nhị diện ứng với góc nhị diện đó. Ta có: \(\overrightarrow {FP} = ( - 2;0;1),\overrightarrow {FE} = ( - 4;0;0)\).

Suy ra \(\cos \widehat {PFE} = \cos (\overrightarrow {FP} ,\overrightarrow {FE} ) = \frac{{\overrightarrow {FP} \cdot \overrightarrow {FE} }}{{|\overrightarrow {FP} | \cdot |\overrightarrow {FE} |}}\)

\( = \frac{{( - 2) \cdot ( - 4) + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 0}}{{\sqrt {{{( - 2)}^2} + {0^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{{( - 4)}^2} + {0^2} + {0^2}} }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}{\rm{. }}\)

Do đó, \(\widehat {PFE} \approx 26,6^\circ \). Vậy góc dốc của mái nhà khoảng \(26,6^\circ \).

Đáp án: a) Đúng;   b) Sai;   c) Sai;   d) Đúng.

Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;\;0;\;1} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {1;\;1;\;1} \right)\)\( \Rightarrow \left( { - 1} \right).1 + 0.1 + 1.1 = 0 \Rightarrow AB \bot AC\).

Nên diện tích tam giác \(ABC\) là \(S = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{{\sqrt 6 }}{2}\). Chọn C.