Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm \(A\left( {4;\,\,2;\,\,1} \right)\), \(B\left( { - 2;\, - 1;\,4} \right)\). Tìm được tọa độ điểm \(M\left( {a;b;c} \right)\) thỏa mãn đẳng thức \(\overrightarrow {AM} = 2\overrightarrow {MB} \). Khi đó \(a + b + c = ?\)

a) Vì nền nhà là hình chữ nhật nên tứ giác \(OABC\) là hình chữ nhật, suy ra \({x_A} = {x_B} = 4\), \({y_C} = {y_B} = 5.\)

Do \(A\) nằm trên trục \(Ox\) nên tọa độ điểm \(A\) là \((4;0;0)\). Tường nhà là hình chữ nhật nên tứ giác \(OCHE\) là hình chữ nhật, suy ra \({y_H} = {y_C} = 5\), \({z_H} = {z_E} = 3\).

Do \(H\) nằm trên mặt phẳng \((Oyz)\) nên tọa độ điểm \(H\) là \((0;5;3)\).

Tứ giác \(OAFE\) là hình chữ nhật nên \({x_F} = {x_A} = 4;{z_F} = {z_E} = 3\).

Do \(F\) nằm trên mặt phẳng \((Ozx)\) nên tọa độ điểm \(F\) là \((4;0;3)\).

b) Nên \(\overrightarrow {AH} = \left( { - 4;5;3} \right)\) và \(\overrightarrow {AF} = (0;0;3)\).

c) Suy ra \(\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {AF} = 0 + 0 + 9 = 9\).

d) Để tính góc dốc của mái nhà, ta đi tính số đo của góc nhị diện có cạnh là đường thẳng \(FG\), hai mặt lần lượt là \((FGQP)\) và \((FGHE)\).

Do mặt phẳng \((Ozx)\) vuông góc với hai mặt phẳng \((FGQP)\) và (\(FGHE)\) nên góc \(PFE\) là góc phẳng nhị diện ứng với góc nhị diện đó. Ta có: \(\overrightarrow {FP} = ( - 2;0;1),\overrightarrow {FE} = ( - 4;0;0)\).

Suy ra \(\cos \widehat {PFE} = \cos (\overrightarrow {FP} ,\overrightarrow {FE} ) = \frac{{\overrightarrow {FP} \cdot \overrightarrow {FE} }}{{|\overrightarrow {FP} | \cdot |\overrightarrow {FE} |}}\)

\( = \frac{{( - 2) \cdot ( - 4) + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 0}}{{\sqrt {{{( - 2)}^2} + {0^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{{( - 4)}^2} + {0^2} + {0^2}} }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}{\rm{. }}\)

Do đó, \(\widehat {PFE} \approx 26,6^\circ \). Vậy góc dốc của mái nhà khoảng \(26,6^\circ \).

Đáp án: a) Đúng;   b) Sai;   c) Sai;   d) Đúng.

a) Vì \(\overrightarrow a - 2\overrightarrow b = \left( {0;7; - 7} \right).\)

b) Vì \(\vec a = \overrightarrow {AB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2 = {x_B} - 4\\1 = {y_B} - 6\\ - 3 = {z_B} + 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 2\\{y_B} = 7\\{z_B} = - 6\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {2;7; - 6} \right).\)

c) Vì \(\frac{{ - 2}}{{ - 1}} \ne \frac{1}{{ - 3}} \ne \frac{{ - 3}}{2}.\)

d) Vì \(\cos \left( {\vec a;\vec b} \right) = \frac{{ - 2.\left( { - 1} \right) + \left( { - 3} \right).1 + \left( { - 3} \right).2}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {2^2}} }} = - \frac{1}{2} \Rightarrow \left( {\vec a,\vec b} \right) = 120^\circ \).

Đáp án: a) Sai;   b) Đúng;   c) Sai;   d) Đúng.