Một vật chuyển động theo quy luật \(s = - \frac{1}{2}{t^3} + 6{t^2}\) với \(t\) (giây) là khoảng thời gian từ khi vật bắt đầu chuyển động và \(s\) (mét) là quãng đường vật di chuyển trong thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian \(6\) giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất vật đạt được bằng bao nhiêu?

Ta có \[\overrightarrow {AB} = \left( {3;\,\,0;\,\,0} \right)\]. Gọi \(C\left( {x;\,y;\,\,z} \right) \Rightarrow \overrightarrow {DC} = \left( {x;\,\,y - 3;\,\,z} \right)\).

\(ABCD\) là hình bình hành \[ \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Rightarrow \left( {x;\,\,y - 3;\,\,z} \right) = \left( {3;\,\,0;\,\,0} \right) \Rightarrow C\left( {3;\,\,3;\,\,0} \right)\]

Ta có \(\overrightarrow {AD} = \left( {0;\,\,3;\,\,0} \right)\). Gọi \(A'\left( {x';\,\,y';\,\,z'} \right) \Rightarrow \overrightarrow {A'D'} = \left( { - x';\,\,3 - y';\,\, - 3 - z'} \right)\)

\(ADD'A'\) là hình bình hành \( \Rightarrow \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {A'D'} \Rightarrow \left( {x';\,\,y';\,\,z'} \right) = \left( {0;\,\,0;\,\, - 3} \right) \Rightarrow A'\left( {0;\,\,0;\, - 3} \right)\).

Gọi \(B'\left( {{x_0};\,\,{y_0};\,\,{z_0}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {A'B'} = \left( {{x_0};\,\,{y_0};\,\,{z_0} + 3} \right)\)

\(ABB'A'\) là hình bình hành \( \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {A'B'} \Rightarrow \left( {{x_0};\,\,{y_0};\,\,{z_0}} \right) = \left( {3;\,\,0;\, - 3} \right) \Rightarrow B'\left( {3;\,\,0;\, - 3} \right)\)

\(G\) là trọng tâm tam giác \(A'B'C\) \[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{0 + 3 + 3}}{3} = 2\\{y_G} = \frac{{0 + 0 + 3}}{3} = 1\\{z_G} = \frac{{ - 3 - 3 + 0}}{3} = - 2\end{array} \right. \Rightarrow G\left( {2;\,\,1;\,\, - 2} \right)\].

a) Ta có \(\overrightarrow {BC} = (1;1;1)\).

Gọi \(H(x;y;z)\) là chân đường cao của tam giác \(ABC\) kẻ từ \(A\).

Suy ra \(\overrightarrow {BH} = (x - 1;y - 2;z - 4)\).

\(\overrightarrow {BH} \) cùng phương với \(\overrightarrow {BC} \), do đó \(x - 1 = t;y - 2 = t;z - 4 = t\), suy ra \(H(1 + t;2 + t;4 + t)\).

Ta có \(\overrightarrow {AH} = \left( {{x_H} - {x_A};{y_H} - {y_A};{z_H} - {z_A}} \right) = (t - 6;t - 1;t + 1)\).

\(\overrightarrow {AH} \bot \overrightarrow {BC} \Leftrightarrow \overrightarrow {AH} \cdot \overrightarrow {BC} = 0 \Leftrightarrow t - 6 + t - 1 + t + 1 = 0 \Leftrightarrow 3t = 6 \Leftrightarrow t = 2\).

Suy ra \(H(3;4;6)\).

b) Ta có \(\overrightarrow {AB} = ( - 6; - 1;1);\overrightarrow {AC} = ( - 5;0;2)\), suy ra

\(AB = \sqrt {{{( - 6)}^2} + {{( - 1)}^2} + {1^2}} = \sqrt {38} ;AC = \sqrt {{{( - 5)}^2} + {0^2} + {2^2}} = \sqrt {29} .\)

c) \(\cos A = \frac{{\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} }}{{AB \cdot AC}} = \frac{{30 + 0 + 2}}{{\sqrt {38} \cdot \sqrt {29} }} = \frac{{32}}{{\sqrt {38 \cdot 29} }}\), suy ra \(\widehat {{\mkern 1mu} A{\mkern 1mu} } \approx 15,43^\circ \).