Một vật chuyển động theo quy luật \(s = - \frac{1}{2}{t^3} + 6{t^2}\) với \(t\) (giây) là khoảng thời gian từ khi vật bắt đầu chuyển động và \(s\) (mét) là quãng đường vật di chuyển trong thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian \(6\) giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất vật đạt được bằng bao nhiêu?

Số cá giống mà ông thanh đã thả trong vụ vừa qua là \(50.20 = 1000\left( {{\rm{con}}} \right)\)

Khối lượng trung bình mỗi con cá thành phần trong vụ vừa qua là: \(1500:1000 = 1,5\left( {{\rm{kg}}} \right)\).

Gọi số cá giống cần thả ít đi trong vụ này là: \(x\left( {{\rm{con}}} \right),\left( {x > 0} \right)\)

Theo đề, giảm 8 con thì mỗi con tăng thêm \(0,5\;{\rm{kg/con}}\)

Vậy giảm \(x\) con thì mỗi con tăng thêm \(0,0625x{\rm{ kg/con}}\).

Tổng số lượng cá thu được ở vụ này:

\(F\left( x \right) = \left( {1000 - x} \right)\left( {1,5 + 0,0625x} \right) = - 0,0625{x^2} + 61x + 1500\).

Bài toán trở thành tìm x để \(F\left( x \right)\) đạt giá trị lớn nhất.

Ta có:\(F'\left( x \right) = - 0,125x + 61\)

\(F'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - 0,125x + 61 = 0 \Leftrightarrow x = 488\)

Bảng biến thiên

Vậy ông thanh phải thả số cá giống trong vụ này là: \(1000 - 488 = 512\;{\rm{con}}\).

a) \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}\)                

1) Tập xác định: \(\mathbb{R}\backslash \{ 1\} \).

2) Sự biến thiên

Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = + \infty \). Do đó, đường thẳng \(x = 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 2,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = 2\). Do đó, đường thẳng \(y = 2\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

- \(y' = \frac{{ - 3}}{{{{(x - 1)}^2}}} < 0\) với mọi \(x \ne 1\).

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(( - \infty ;1)\) và \((1; + \infty )\).

Hàm số không có cực trị.

- Bảng biến thiên:

3) Đồ thị

- Giao điểm của đồ thị với trục tung: \((0; - 1)\).

- Giao điểm của đồ thị với trục hoành: \(\left( { - \frac{1}{2};0} \right)\).

Đồ thị hàm số đi qua các điểm \((0; - 1),\left( { - \frac{1}{2};0} \right)\), \(( - 2;1),(2;5),\left( {\frac{5}{2};4} \right)\) và \((4;3)\).

Đồ thị hàm số nhận giao điểm \(I(1;2)\) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Vậy đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}\) được cho ở Hình.

b) \(y = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}}\).

1) Tập xác định: \(\mathbb{R}\backslash \{ 1\} \).

2) Sự biến thiên

- Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

Ta viết hàm số đã cho dưới dạng: \(y = x + \frac{1}{{x - 1}}\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty .\)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = + \infty \).

Do đó, đường thẳng \(x = 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (y - x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{x - 1}} = 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (y - x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{{x - 1}} = 0\).

Do đó, đường thẳng \(y = x\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số

\(y' = \frac{{{x^2} - 2x}}{{{{(x - 1)}^2}}}\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2x = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \({\rm{ }}x = 2.{\rm{ }}\)

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(( - \infty ;0)\) và \((2; + \infty )\); nghịch biến trên mỗi khoảng \((0;1)\) và \((1;2).\)

Hàm số đạt cực đại tại ; đạt cực tiểu tại \(x = 2,{y_{CT}} = 3\).

Bảng biến thiên:

3) Đồ thị

- Giao điểm của đồ thị với trục tung: \((0; - 1)\).

- Đồ thị hàm số không cắt trục hoành.

- Đồ thị hàm số đi qua các điểm \((0; - 1),\left( {\frac{1}{2}; - \frac{3}{2}} \right)\), \(\left( { - 1; - \frac{3}{2}} \right),(2;3),\left( {\frac{3}{2};\frac{7}{2}} \right)\) và \(\left( {3;\frac{7}{2}} \right)\).

- Đồ thị nhận giao điểm \(I(1;1)\) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Vậy đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}}\) được cho ở Hình.