Ông Thanh nuôi cá chim ở một cái ao có diện tích là \(50\;{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\). Vụ trước ông nuôi với mật độ là \(20\) con/m² và thu được 1,5 tấn cá. Theo kinh nghiệm nuôi cá của mình thì cứ thả giảm đi 8 \({\rm{con/}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\) thì mỗi con cá khi thu hoạch tăng lên 0,5kg. Vậy vụ tới ông phải thả bao nhiêu con cá giống để được tổng năng suất khi thu hoạch là cao nhất? Giả sử không có hao hụt khi nuôi.

a) Ta có \(\overrightarrow {BC} = (1;1;1)\).

Gọi \(H(x;y;z)\) là chân đường cao của tam giác \(ABC\) kẻ từ \(A\).

Suy ra \(\overrightarrow {BH} = (x - 1;y - 2;z - 4)\).

\(\overrightarrow {BH} \) cùng phương với \(\overrightarrow {BC} \), do đó \(x - 1 = t;y - 2 = t;z - 4 = t\), suy ra \(H(1 + t;2 + t;4 + t)\).

Ta có \(\overrightarrow {AH} = \left( {{x_H} - {x_A};{y_H} - {y_A};{z_H} - {z_A}} \right) = (t - 6;t - 1;t + 1)\).

\(\overrightarrow {AH} \bot \overrightarrow {BC} \Leftrightarrow \overrightarrow {AH} \cdot \overrightarrow {BC} = 0 \Leftrightarrow t - 6 + t - 1 + t + 1 = 0 \Leftrightarrow 3t = 6 \Leftrightarrow t = 2\).

Suy ra \(H(3;4;6)\).

b) Ta có \(\overrightarrow {AB} = ( - 6; - 1;1);\overrightarrow {AC} = ( - 5;0;2)\), suy ra

\(AB = \sqrt {{{( - 6)}^2} + {{( - 1)}^2} + {1^2}} = \sqrt {38} ;AC = \sqrt {{{( - 5)}^2} + {0^2} + {2^2}} = \sqrt {29} .\)

c) \(\cos A = \frac{{\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} }}{{AB \cdot AC}} = \frac{{30 + 0 + 2}}{{\sqrt {38} \cdot \sqrt {29} }} = \frac{{32}}{{\sqrt {38 \cdot 29} }}\), suy ra \(\widehat {{\mkern 1mu} A{\mkern 1mu} } \approx 15,43^\circ \).

Ta có \[\overrightarrow {AB} = \left( {3;\,\,0;\,\,0} \right)\]. Gọi \(C\left( {x;\,y;\,\,z} \right) \Rightarrow \overrightarrow {DC} = \left( {x;\,\,y - 3;\,\,z} \right)\).

\(ABCD\) là hình bình hành \[ \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Rightarrow \left( {x;\,\,y - 3;\,\,z} \right) = \left( {3;\,\,0;\,\,0} \right) \Rightarrow C\left( {3;\,\,3;\,\,0} \right)\]

Ta có \(\overrightarrow {AD} = \left( {0;\,\,3;\,\,0} \right)\). Gọi \(A'\left( {x';\,\,y';\,\,z'} \right) \Rightarrow \overrightarrow {A'D'} = \left( { - x';\,\,3 - y';\,\, - 3 - z'} \right)\)

\(ADD'A'\) là hình bình hành \( \Rightarrow \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {A'D'} \Rightarrow \left( {x';\,\,y';\,\,z'} \right) = \left( {0;\,\,0;\,\, - 3} \right) \Rightarrow A'\left( {0;\,\,0;\, - 3} \right)\).

Gọi \(B'\left( {{x_0};\,\,{y_0};\,\,{z_0}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {A'B'} = \left( {{x_0};\,\,{y_0};\,\,{z_0} + 3} \right)\)

\(ABB'A'\) là hình bình hành \( \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {A'B'} \Rightarrow \left( {{x_0};\,\,{y_0};\,\,{z_0}} \right) = \left( {3;\,\,0;\, - 3} \right) \Rightarrow B'\left( {3;\,\,0;\, - 3} \right)\)

\(G\) là trọng tâm tam giác \(A'B'C\) \[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{0 + 3 + 3}}{3} = 2\\{y_G} = \frac{{0 + 0 + 3}}{3} = 1\\{z_G} = \frac{{ - 3 - 3 + 0}}{3} = - 2\end{array} \right. \Rightarrow G\left( {2;\,\,1;\,\, - 2} \right)\].