Một cửa hàng trang sức khảo sát khách hàng xem họ dự định mua trang sức với mức giá nào (đơn vị: triệu đồng). Kết quả khảo sát được ghi lại ở bảng sau:

Mức giá	\([6;9)\)	\([9;12)\)	\([12;15)\)	\([15;18)\)	\([18;21)\)
Số khác hàng	20	78	45	23	12

a) Tìm khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm.

b) Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên (làm tròn đến hai chữ số thập phân).

Số cá giống mà ông thanh đã thả trong vụ vừa qua là \(50.20 = 1000\left( {{\rm{con}}} \right)\)

Khối lượng trung bình mỗi con cá thành phần trong vụ vừa qua là: \(1500:1000 = 1,5\left( {{\rm{kg}}} \right)\).

Gọi số cá giống cần thả ít đi trong vụ này là: \(x\left( {{\rm{con}}} \right),\left( {x > 0} \right)\)

Theo đề, giảm 8 con thì mỗi con tăng thêm \(0,5\;{\rm{kg/con}}\)

Vậy giảm \(x\) con thì mỗi con tăng thêm \(0,0625x{\rm{ kg/con}}\).

Tổng số lượng cá thu được ở vụ này:

\(F\left( x \right) = \left( {1000 - x} \right)\left( {1,5 + 0,0625x} \right) = - 0,0625{x^2} + 61x + 1500\).

Bài toán trở thành tìm x để \(F\left( x \right)\) đạt giá trị lớn nhất.

Ta có:\(F'\left( x \right) = - 0,125x + 61\)

\(F'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - 0,125x + 61 = 0 \Leftrightarrow x = 488\)

Bảng biến thiên

Vậy ông thanh phải thả số cá giống trong vụ này là: \(1000 - 488 = 512\;{\rm{con}}\).

a) Ta có \(\overrightarrow {BC} = (1;1;1)\).

Gọi \(H(x;y;z)\) là chân đường cao của tam giác \(ABC\) kẻ từ \(A\).

Suy ra \(\overrightarrow {BH} = (x - 1;y - 2;z - 4)\).

\(\overrightarrow {BH} \) cùng phương với \(\overrightarrow {BC} \), do đó \(x - 1 = t;y - 2 = t;z - 4 = t\), suy ra \(H(1 + t;2 + t;4 + t)\).

Ta có \(\overrightarrow {AH} = \left( {{x_H} - {x_A};{y_H} - {y_A};{z_H} - {z_A}} \right) = (t - 6;t - 1;t + 1)\).

\(\overrightarrow {AH} \bot \overrightarrow {BC} \Leftrightarrow \overrightarrow {AH} \cdot \overrightarrow {BC} = 0 \Leftrightarrow t - 6 + t - 1 + t + 1 = 0 \Leftrightarrow 3t = 6 \Leftrightarrow t = 2\).

Suy ra \(H(3;4;6)\).

b) Ta có \(\overrightarrow {AB} = ( - 6; - 1;1);\overrightarrow {AC} = ( - 5;0;2)\), suy ra

\(AB = \sqrt {{{( - 6)}^2} + {{( - 1)}^2} + {1^2}} = \sqrt {38} ;AC = \sqrt {{{( - 5)}^2} + {0^2} + {2^2}} = \sqrt {29} .\)

c) \(\cos A = \frac{{\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} }}{{AB \cdot AC}} = \frac{{30 + 0 + 2}}{{\sqrt {38} \cdot \sqrt {29} }} = \frac{{32}}{{\sqrt {38 \cdot 29} }}\), suy ra \(\widehat {{\mkern 1mu} A{\mkern 1mu} } \approx 15,43^\circ \).