Một trường học không có quá 600 học sinh. Biết rằng khi xếp thành 8 hàng, 12 hàng, 15 hàng thì lần lượt dư 6 học sinh, 10 học sinh, 13 học sinh còn nếu khi xếp thành 13 hàng thì vừa đủ. Tính số học sinh của trường này.

c) Ta có: \[xy + 2x + 3y = 0\]

 \(x\left( {y + 2} \right) + 3\left( {y + 2} \right) = 6\)

\(\left( {y + 2} \right)\left( {x + 3} \right) = 6\).

Với \(x \in \mathbb{Z},\) từ \(\left( {y + 2} \right)\left( {x + 3} \right) = 6\) ta có \(x + 3 \in \)Ư\(\left( 6 \right) = \left\{ {1;\, - 1;\,\,2;\, - 2;\,\,3;\, - 3;\,\,6;\, - 6} \right\}\)

Ta có bảng sau:

Vậy \(\left( {x;\,\,y} \right) \in \left\{ {\left( { - 2;\,\,4} \right);\,\,\left( { - 4;\,\, - 8} \right);\,\,\left( { - 1;\,\,1} \right);\,\,\left( { - 5;\,\, - 5} \right);\,\,\left( {0;\,\,0} \right);\,\,\left( { - 6;\,\, - 4} \right);\,\,\left( {3;\,\, - 1} \right);\,\,\left( { - 9;\,\, - 3} \right)} \right\}.\)

Hướng dẫn giải

Gọi \(n\) là số ống mà hàng dưới cùng người công nhân đã xếp.

Theo bài, tổng số ống mà người công nhân xếp là: \(1 + 2 + 3 + ... + n\) (ống).

Tổng trên là tổng của dãy số \(1,\,\,2,\,\,3,\,\,...,\,\,\,n\) có \(n\) số hạng và cách đều nhau 1 đơn vị.

Như vậy, tổng của dãy số trên là: \(1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{{n \cdot \left( {n + 1} \right)}}{2}.\)

Theo bài, người công nhân cần xếp 465 ống nên ta có: \(\frac{{n \cdot \left( {n + 1} \right)}}{2} = 465.\)

Suy ra \(n \cdot \left( {n + 1} \right) = 930.\)

Hai số \(n\), \(n + 1\) là hai số tự nhiên liên tiếp và ta thấy rằng \(30 \cdot 31 = 930\) nên \(n = 30.\)

Vậy người công nhân cần xếp 30 hàng và hàng dưới cùng xếp 30 ống.