Khi máu di chuyển từ tim qua các động mạch chính rồi đến các mao mạch và quay trở lại qua các tĩnh mạch, huyết áp tâm thu ( tức là áp lực của máu lên động mạch khi tim co bóp) liên tục giảm xuống. Giả sử một người có huyết áp tâm thu P ( được tính bằng mmHg) được cho bởi hàm số: \(\) \(P(t) = \frac{{25{t^2} + 125}}{{{t^2} + 1}},0 \le t \le 10\)Trong đó t là thời gian được tính bằng giây. Tốc độ thay đổi của huyết áp sau 8 giây kể từ khi máu rời tim giảm bao nhiêu mmHg?

Đáp án:

$\begin{array}{l}\overrightarrow{F_1}=\overrightarrow{a};\overrightarrow{F_2}=\overrightarrow{b};\overrightarrow{F_3}=\overrightarrow{c}\text{ thì }\left|\overrightarrow{a}\right|=3,\left|\overrightarrow{b}\right|=6,\left|\overrightarrow{c}\right|=9,(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b})=(\overrightarrow{b};\overrightarrow{c})=(\overrightarrow{c};\overrightarrow{a})={60}^{°}\\ \text{Ta có: }\\ \overrightarrow{F_{hl}}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\Rightarrow {\left|\overrightarrow{F_{hl}}\right|}^2==|\overrightarrow{a}{|}^2+|\overrightarrow{b}{|}^2+|\overrightarrow{c}{|}^2+2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}+2\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}\\ =9+36+81+18+54+27=225\Rightarrow \left|\overrightarrow{F_{hl}}\right|=25( N)\end{array}$

Ta có mặt cắt qua trục hình nón như hình vẽ. Đặt \(x\) là bán kính đáy hình trụ, \(h\) là chiều cao của hình trụ.

Ta có hai tam giác \(SAI\) và \(SA'I'\) đồng dạng.

\( \Rightarrow \frac{{SI}}{{SI'}} = \frac{{AI}}{{A'I'}} \Leftrightarrow \frac{6}{{6 - h}} = \frac{2}{x} \Rightarrow h = 6 - 3x\), với \(0 < x < 2\)Sai.

Ta có:

Chiều cao của khối trụ tính theo bán kính đáy hình trụ là \(h =  - 3x + 6\) với \(0 < x < 2\).

Suy ra: Thể tích của khối trụ là: \[V = \pi .{x^2}.h = \pi .{x^2}.\left( {6 - 3x} \right) = \pi \left( { - 3{x^3} + 6{x^2}} \right)\], với \(0 < x < 2\).Đúng.

Bác thợ mộc chế tác khúc gỗ đó thành hình trụ có bán kính đáy bằng chiều cao

Suy ra: \(x = 6 - 3x \Rightarrow x = \frac{3}{2} \Rightarrow V = \pi  \cdot \left[ { - 3{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^3} + 6{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2}} \right] = \), khi đó thể tích của khối trụ là \[V = \pi  \cdot \left[ { - 3{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^3} + 6{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2}} \right] = \frac{{27}}{8}\pi \left( {{m^3}} \right).\]Đúng.

Thể tích của khối trụ là: \[V = \pi .{x^2}.h = \pi .{x^2}.\left( {6 - 3x} \right) = \pi \left( { - 3{x^3} + 6{x^2}} \right)\], với \(0 < x < 2\).

Xét hàm số \[V = \pi \left( { - 3{x^3} + 6{x^2}} \right)\], với \(0 < x < 2\).

\[V' = \pi \left( { - 9{x^2} + 12x} \right)\].

\[V' = 0 \Leftrightarrow \pi \left( { - 9{x^2} + 12x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0{\rm{ }}\,\left( l \right)\\x = \frac{4}{3}{\rm{ }}\left( n \right)\end{array} \right.\].

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy \({V_{\max }} = \frac{{32\pi }}{9}\left( {{m^3}} \right)\) khi \(x = \frac{4}{3}\).