III. Hướng dẫn giải tự luận

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\{u_{n + 1}} = 4{u_n} + 9;\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array} \right.\).

a) Chứng minh rằng dãy \(\left( {{v_n}} \right)\) với \({v_n} = {u_n} + 3\) là một cấp số nhân, tìm công bội và viết số hạng tổng quát của cấp số nhân này.

b) Tính tổng 10 số hạng đầu tiên của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\).

Hướng dẫn giải:

Ta có \(\left( {2\sin x - 1} \right)\left( {3\cos 2x + 2\sin x - m} \right) = 3 - 4{\cos ^2}x\)

\( \Leftrightarrow \left( {2\sin x - 1} \right)\left( {3\cos 2x + 2\sin x - m} \right) = 4{\sin ^2}x - 1\)

\[ \Leftrightarrow \left( {2\sin x - 1} \right)\left( {3\cos 2x + 2\sin x - m} \right) = \left( {2\sin x - 1} \right)\left( {2\sin x + 1} \right)\]

\[ \Leftrightarrow \left( {2\sin x - 1} \right)\left[ {\left( {3\cos 2x + 2\sin x - m} \right) - \left( {2\sin x + 1} \right)} \right] = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left( {2\sin x - 1} \right)\left[ {3\cos 2x - \left( {m + 1} \right)} \right] = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2\sin x - 1 = 0\\3\cos 2x - \left( {m + 1} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = \frac{1}{2}\\\cos 2x = \frac{{m + 1}}{3}\end{array} \right.\]

Xét \(\sin x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\). Khi đó trong khoảng \(\left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]\) có 1 nghiệm \(x = \frac{\pi }{6}\). Như vậy, để phương trình có 3 nghiệm nằm trong khoảng \(\left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]\) thì phương trình \[\cos 2x = \frac{{m + 1}}{3}\] có 2 nghiệm khác \(\frac{\pi }{6}\) trong khoảng \(\left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]\).

Xét hàm số \(y = \cos 2x\) trong khoảng \(\left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]\) có bảng biến thiên như sau:

a) Trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\), gọi \(E\) là giao điểm của \(AC\) và \(BI\), khi đó \(SE\) nằm trên mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\).

Mà \(IJ\) và \(SE\) cùng nằm trong mặt phẳng \(\left( {SIB} \right)\), nên giao điểm của \(IJ\) và \(SE\) chính là giao điểm giữa \(IJ\) và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\).

Vậy \(K\) là giao điểm giữa \(IJ\) và \(SE\).

b) Gọi giao điểm giữa \(AC\) và \(BD\) là \(F\).

Trong mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) lấy \(DJ\) giao với \(SF\) tại \(L\).

Vì \(SF\) nằm trên \(\left( {SAC} \right)\) nên \(L\) là giao điểm giữa \(DJ\) và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\).

c) \(K \in IJ \Rightarrow K \in \left( {OAJ} \right)\), mà \(K \in \left( {SAC} \right)\) nên \(K\) là điểm chung giữa 2 mặt phẳng \(\left( {OAJ} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right) \Rightarrow \)\(K\) thuộc giao tuyến giữa 2 mặt phẳng này (1).

Tương tự, \(L \in JD \Rightarrow L \in \left( {OAJ} \right)\), mà \(L \in \left( {SAC} \right)\) nên \(L\) thuộc giao tuyến giữa mặt phẳng \(\left( {OAJ} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) (2).

Mặt khác, \(M \in OJ \Rightarrow M \in \left( {OAJ} \right)\), mà \(M \in SC \Rightarrow M \in \left( {SAC} \right) \Rightarrow M\) là điểm chung giữa mặt phẳng \(\left( {OAJ} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\), kết hợp \(A\) là điểm chung giữa mặt phẳng \(\left( {OAJ} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right) \Rightarrow AM\) là giao tuyến giữa mặt phẳng \(\left( {OAJ} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) (3).

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(A,K,L,M\) thẳng hàng. (đpcm)