Một chiếc lều có dạng hình chóp tứ giác đều ở trại hè của học sinh có kích thước như hình bên.

a) Tính thể tích không khí bên trong chiếc lều.

b) Tính số tiền mua vải phủ bốn phía và trải nền đất cho chiếc lều (coi các mép nối không đáng kể). Biết chiều cao của mặt bên xuất phát từ đỉnh của chiếc lều là \(3,18\;\;{\rm{m}}\) và giá vải là \(15\,\,000\) đồng/m2. Ngoài ra, nếu mua vải với hóa đơn trên \(20\) m2 thì được giảm giá \(5\% \) trên tổng hóa đơn.

Ta có:

\(M = {x^2} - 2x\left( {y + 1} \right) + 3{y^2} + 2025\)

\( = {x^2} - 2x\left( {y + 1} \right) + {\left( {y + 1} \right)^2} - \left( {{y^2} + 2y + 1} \right) + 3{y^2} + 2025\)

\( = {x^2} - 2x\left( {y + 1} \right) + {\left( {y + 1} \right)^2} + 2{y^2} - 2y + 2024\)

\( = \left[ {{x^2} - 2x\left( {y + 1} \right) + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} \right] + 2\left( {{y^2} - y + \frac{1}{4}} \right) + 2024 - \frac{1}{2}\)

\( = {\left( {x - y - 1} \right)^2} + 2{\left( {y - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{4047}}{2}.\)

Nhận xét: với mọi \(x,y\) ta có:

• \({\left( {x - y - 1} \right)^2} \ge 0;\)

• \(2{\left( {y - \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\)

Do đó \(M = {\left( {x - y - 1} \right)^2} + 2{\left( {y - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{4047}}{2} \ge \frac{{4047}}{2}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - y - 1} \right)^2} = 0\\2{\left( {y - \frac{1}{2}} \right)^2} = 0\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x - y - 1 = 0\\y - \frac{1}{2} = 0\end{array} \right.\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{3}{2}\\y = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M\) là \(\frac{{4047}}{2}\) khi \(x = \frac{3}{2}\) và \(y = \frac{1}{2}.\)

a) Số đo góc \(D\) ở đuôi chiếc diều là:

\(\widehat D = 360^\circ  - \left( {\widehat {A\,\,} + \widehat {B\,} + \widehat {C\,}} \right) = 360^\circ  - \left( {102^\circ  + 102^\circ  + 102^\circ } \right) = 54^\circ .\)

b) Xét \(\Delta OAD\) vuông tại \(O\), theo định lí Pythagore ta có:

\(O{A^2} = A{D^2} - O{D^2} = {30^2} - {26,7^2} = 187,11\)

Xét \(\Delta OAB\) vuông tại \(O,\) theo định lí Pythagore ta có:

\(O{B^2} = A{B^2} - O{A^2} = {17,5^2} - 187,11 = 119,14\)

Do đó \(OB = \sqrt {119,14}  \approx 10,9\) (cm).

Suy ra \(BD = OB + OD \approx 10,9 + 26,7 = 37,6\) (cm).