Bạn Nam đo một chiếc đèn thả trang trí như hình vẽ bên thì nhận thấy các cạnh đều có cùng độ dài là 20 cm.

a) Tính độ dài trung đoạn của hình chóp.

b) Tính diện tích xung quanh của chiếc đèn.

c) Bạn Nam đọc và thấy rằng khi treo đèn thì khoảng cách từ đáy của đèn cách mặt trền là 1 m là tốt nhất. Vậy bạn Nam cần đưa đoạn dây điện từ đầu đèn (vị trí \(A)\) tới mặt trần là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

 

Ta có: \(A =  - {x^2} + 2xy - 4{y^2} + 2x + 10y - 3.\)

Suy ra \( - A = {x^2} - 2xy + 4{y^2} - 2x - 10y + 3\)

\( = {x^2} - 2x\left( {y + 1} \right) + {\left( {y + 1} \right)^2} + 4{y^2} - 10y + 3 - {\left( {y + 1} \right)^2}\)

\( = \left[ {{x^2} - 2x\left( {y + 1} \right) + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} \right] + 3{y^2} - 12y + 2\)

\[ = {\left[ {x - \left( {y + 1} \right)} \right]^2} + 3\left( {{y^2} - 4y + 4} \right) - 10\]

\[ = {\left( {x - y - 1} \right)^2} + 3{\left( {y - 2} \right)^2} - 10\]

Do đó \[A =  - {\left( {x - y - 1} \right)^2} - 3{\left( {y - 2} \right)^2} + 10\]

Nhận xét: \[ - {\left( {x - y - 1} \right)^2} \le 0;\,\,\, - 3{\left( {y - 2} \right)^2} \le 0\] với mọi \(x,y\)

Suy ra \[A =  - {\left( {x - y - 1} \right)^2} - 3{\left( {y - 2} \right)^2} + 10 \le 10\]

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \[\left\{ \begin{array}{l} - {\left( {x - y - 1} \right)^2} = 0\\ - 3{\left( {y - 2} \right)^2} = 0\end{array} \right.\], tức là \[\left\{ \begin{array}{l}x - y - 1 = 0\\y - 2 = 0\end{array} \right.\], hay \[\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 2\end{array} \right.\]

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \(A\) là 10 khi \(\left( {x;y} \right) = \left( {3;2} \right)\).

a) Điều kiện xác định của biểu thức \(A\) là \({x^2} - 1 \ne 0\) hay \({x^2} \ne 1\), tức \(x \ne 1\) và \(x \ne  - 1.\)

b) Thay \(x =  - 2\) (thỏa mãn) vào biểu thức \(A\) ta được: \(A = \frac{2}{{{{\left( { - 2} \right)}^2} - 1}} = \frac{2}{{4 - 1}} = \frac{2}{3}.\)

c) Ta có: \(A + C = B.\)

Suy ra \(C = B - A = \frac{6}{{x - 3}} - \frac{{2{x^2}}}{{1 - {x^2}}} - \frac{2}{{{x^2} - 1}}\) (với \(x \ne 3,x \ne  \pm 1)\)

\(C = \frac{6}{{x - 3}} + \frac{{2{x^2}}}{{{x^2} - 1}} - \frac{2}{{{x^2} - 1}}\)

\( = \frac{6}{{x - 3}} + \frac{{2{x^2} - 2}}{{{x^2} - 1}}\)

\( = \frac{6}{{x - 3}} + \frac{{2\left( {{x^2} - 1} \right)}}{{{x^2} - 1}}\)\( = \frac{6}{{x - 3}} + \frac{2}{1}\)