Cho biểu thức \(A = 12x - 8y - 4{x^2} - {y^2} + 1\). Tính giá trị lớn nhất của biểu thức \(A.\)

Ta có \(A = 12x - 8y - 4{x^2} - {y^2} + 1\)

\[ = \left( { - \,4{x^2} + 12x - 9} \right) + \left( { - {y^2} - 8y - 16} \right) + 26\]

\[ =  - \left( {\,4{x^2} - 12x + 9} \right) - \left( {{y^2} + 8y + 16} \right) + 26\]

\[ =  - {\left( {\,2x - 3} \right)^2} - {\left( {y + 4} \right)^2} + 26\].

Do \( - {\left( {\,2x - 3} \right)^2} \le 0\,;\,\, - {\left( {y + 4} \right)^2} \le 0\) với mọi \(x,\,\,y \in \mathbb{R}\).

Nên \[A =  - {\left( {\,2x - 3} \right)^2} - {\left( {y + 4} \right)^2} + 26 \le 26\].

Dấu  xảy ra khi và chỉ khi \[2x - 3 = 0;\,\,y + 4 = 0\] suy ra \[x = \frac{3}{2};\,\,y =  - \,4\].

Vậy giá trị lớn nhất của \[A\] bằng \[26\] khi và chỉ khi \[x = \frac{3}{2};\,\,y =  - \,4\].