(1,0 điểm) Giữa hai điểm \(B\) và \(C\) bị ngăn cách bởi hồ nước (như hình vẽ). Xác định độ dài \(BC\) mà không cần phải di chuyển qua hồ nước. Biết rằng đoạn thẳng \(KI\) dài \(25\,\,{\rm{m}}\) và \(K\) là trung điểm của \(AB\), \(I\) là trung điểm của \(AC\).

a) Xét tứ giác \(ADME\) có:

\(\widehat {DAE} = 90^\circ \) (vì \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\))

\(\widehat {ADM} = 90^\circ \) \(\left( {MD \bot AB} \right)\)

\(\widehat {AEM} = 90^\circ \) \(\left( {ME \bot AC} \right)\)

Do đó tứ giác \(ADME\) là hình chữ nhật.

b) Vì \(ADME\) là hình chữ nhật nên \(AD = ME\,;\,\,AD\,{\rm{//}}\,ME\) (tính chất hình chữ nhật).

Mà \(A\) là trung điểm của \(DI\); \(M\) là trung điểm của \(KE\) nên \[DI = KE;\,\,DI\,{\rm{//}}\,KE.\]

Suy ra \(DIEK\) là hình bình hành.

Do đó \(DK\,{\rm{//}}\,EI\) và \(DK = EI\) (đpcm).

Hướng dẫn giải

Ta có: \(M = 2{x^2} + 4{y^2} + 6x - 4y + 2024\)

\( = \left( {{x^2} + 4x + 4} \right) + \left( {{x^2} + 4{y^2} + 1 + 2x - 4xy - 4y} \right) + 2019\)

\( = \left( {{x^2} + 4x + {2^2}} \right) + \left[ {{x^2} + {{\left( {2y} \right)}^2} + {1^2} + 2x - 2.x.2y - 2.2y} \right] + 2019\)

\( = {\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {x - 2y + 1} \right)^2} + 2019\).

Với mọi \(x,\,\,y \in \mathbb{R}\), ta có: \({\left( {x + 2} \right)^2} \ge 0;\) \({\left( {x - 2y + 1} \right)^2} \ge 0\).

Do đó \(M = {\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {x - 2y + 1} \right)^2} + 2019 \ge 2019\).

Dấu  xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + 2} \right)^2} = 0\\{\left( {x - 2y + 1} \right)^2} = 0\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2 = 0\\x - 2y + 1 = 0\end{array} \right.\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2\\y = \frac{{ - 1}}{2}\end{array} \right.\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M\) là 2019 khi \(x =  - 2\) và \(y = \frac{{ - 1}}{2}.\)