Tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành nếu thỏa mãn điều kiện nào dưới đây?

Hướng dẫn giải

Theo đề bài: \({x^2} + \frac{8}{{{x^2}}} + \frac{{{y^2}}}{8} = 8\) suy ra \(2{x^2} + \frac{{16}}{{{x^2}}} + \frac{{{y^2}}}{4} = 16\)

Ta có: \[2{x^2} + \frac{{16}}{{{x^2}}} + \frac{{{y^2}}}{4} = \left( {{x^2} + \frac{{16}}{{{x^2}}} - 8} \right) + \left( {{x^2} + \frac{{{y^2}}}{4} - xy} \right) + xy + 8\]

\[ = {\left( {x - \frac{4}{x}} \right)^2} + {\left( {x - \frac{y}{2}} \right)^2} + xy + 8\].

Vì \[{\left( {x - \frac{4}{x}} \right)^2} \ge 0\,;\,\,{\left( {x - \frac{y}{2}} \right)^2} \ge 0\] nên \[xy + 8 \le 16\] hay \[xy \le 8\].

Suy ra \(A = xy + 2023 \le 8 + 2023 = 2031\).

Dấu xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - \frac{4}{x}} \right)^2} = 0\\{\left( {x - \frac{y}{2}} \right)^2} = 0\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x - \frac{4}{x} = 0\\x - \frac{y}{2} = 0\end{array} \right.\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} = 4\\y = 2x\end{array} \right.\).

Khi đó, \(x = 2\,;\,\,y = 4\) hoặc \(x = - 2\,;\,\,y = - \,4\).

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \(A\) là 2031 khi \(x = 2\,;\,\,y = 4\) hoặc \(x = - 2\,;\,\,y = - \,4\).

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện xác định của biểu thức \[D\] là: \[3x \ne 0;{\rm{ }}x + 1 \ne 0;\]\(\frac{{2 - 4x}}{{x + 1}} \ne 0\).

Xét \[3x \ne 0\] ta có \[x \ne 0.\]

Xét \[x + 1 \ne 0\] ta có \[x \ne --1.\]

Xét \(\frac{{2 - 4x}}{{x + 1}} \ne 0\) ta có \[2--4x \ne 0\] và \[x + 1 \ne 0,\] hay \(x \ne \frac{1}{2}\) và \[x \ne --1.\]

Vậy điều kiện xác định của biểu thức \[D\] là \(x \ne 0\,;\,\,x \ne - 1\,;\,\,x \ne \frac{1}{2}.\)

b) Với \(x \ne 0\,;\,\,x \ne - 1\,;\,\,x \ne \frac{1}{2},\) ta có:

\(D = \left( {\frac{{x + 2}}{{3x}} + \frac{2}{{x + 1}} - 3} \right):\frac{{2 - 4x}}{{x + 1}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}\)

\( = \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right) + 2 \cdot 3x - 3 \cdot 3x\left( {x + 1} \right)}}{{3x \cdot \left( {x + 1} \right)}} \cdot \frac{{x + 1}}{{2 - 4x}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}\)

\( = \frac{{{x^2} + 2x + x + 2 + 6x - 9{x^2} - 9x}}{{3x\left( {x + 1} \right)}} \cdot \frac{{x + 1}}{{2 - 4x}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}\)

\( = \frac{{ - 8{x^2} + 2}}{{3x\left( {x + 1} \right)}} \cdot \frac{{x + 1}}{{2 - 4x}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}\)

\( = \frac{{2\left( {1 - 4{x^2}} \right) \cdot \left( {x + 1} \right)}}{{3x\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {2 - 4x} \right)}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}\)

\( = \frac{{2\left( {1 - 2x} \right)\left( {1 + 2x} \right)}}{{3x \cdot 2\left( {1 - 2x} \right)}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}\)

\( = \frac{{1 + 2x}}{{3x}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}} = \frac{{1 + 2x - 3x + {x^2} - 1}}{{3x}}\)

\( = \frac{{{x^2} - x}}{{3x}} = \frac{{x\left( {x - 1} \right)}}{{3x}} = \frac{{x - 1}}{3}\).

Vậy với \(x \ne 0\,;\,\,x \ne - 1\,;\,\,x \ne \frac{1}{2},\) thì \(D = \frac{{x - 1}}{3}.\)

c) Ta thấy \[x = \frac{1}{2}\] thỏa mãn điều kiện xác định.

Do đó, giá trị của biểu thức \[D\] tại \[x = \frac{1}{2}\] là: \(D = \frac{{\frac{1}{2} - 1}}{3} = \frac{{ - \frac{1}{2}}}{3} = - \frac{1}{6}.\)

Vậy \(D = - \frac{1}{6}\) khi \(x = \frac{1}{2}.\)