(0,5 điểm) Cho hai số \(x,\,\,y\) khác 0 thỏa mãn \({x^2} + \frac{8}{{{x^2}}} + \frac{{{y^2}}}{8} = 8\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(A = xy + 2023.\)

Hướng dẫn giải

Theo đề bài: \({x^2} + \frac{8}{{{x^2}}} + \frac{{{y^2}}}{8} = 8\) suy ra \(2{x^2} + \frac{{16}}{{{x^2}}} + \frac{{{y^2}}}{4} = 16\)

Ta có: \[2{x^2} + \frac{{16}}{{{x^2}}} + \frac{{{y^2}}}{4} = \left( {{x^2} + \frac{{16}}{{{x^2}}} - 8} \right) + \left( {{x^2} + \frac{{{y^2}}}{4} - xy} \right) + xy + 8\]

\[ = {\left( {x - \frac{4}{x}} \right)^2} + {\left( {x - \frac{y}{2}} \right)^2} + xy + 8\].

Vì \[{\left( {x - \frac{4}{x}} \right)^2} \ge 0\,;\,\,{\left( {x - \frac{y}{2}} \right)^2} \ge 0\] nên \[xy + 8 \le 16\] hay \[xy \le 8\].

Suy ra \(A = xy + 2023 \le 8 + 2023 = 2031\).

Dấu xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - \frac{4}{x}} \right)^2} = 0\\{\left( {x - \frac{y}{2}} \right)^2} = 0\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x - \frac{4}{x} = 0\\x - \frac{y}{2} = 0\end{array} \right.\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} = 4\\y = 2x\end{array} \right.\).

Khi đó, \(x = 2\,;\,\,y = 4\) hoặc \(x = - 2\,;\,\,y = - \,4\).

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \(A\) là 2031 khi \(x = 2\,;\,\,y = 4\) hoặc \(x = - 2\,;\,\,y = - \,4\).